Elementär mängdlära med Up som grund

En begynnande matematik

 

Mängd:

 

x={y}, där y här snarare ska ses som (x:s) element (ett kluster av egenskaper) än (x:s) egenskaper:

 

{x}=y1,y2,y3,..,yn:

 

1≤n<∞’; T2:

 

n+m<’(; 1≤m<∞’) (motsvarar Paraxiomet och Oändlighetsaxiomet (i Zermelo-Fraenkels mängdlära)).

 

n/m definierar alltså antalet element mängden (av x ({x})) består av (n/m är mängden/antalet x); Om ett streck, |, antas motsvara ett ele-ment, så definieras antal av ”antalet” streck, till exempel: | | | | | | |, vilket konventionellt kallas ”sju” (7) streck. Om till exempel ”tre” (3) streck, | | |, läggs till dessa sju streck, så definieras: | | | | | | | | | |, vilket konventionellt kallas ”tio” (10) streck. Detta vilket definierar grund-läggande addition. I vilken det väsentliga är antalet streck, eller då element, vilka konventionellt då antas korrespondera mot en symbol, kallad siffra eller tal, så kallat naturligt tal (1,2,3,..), där 1 antas korrespondera mot ”ett” streck, |, och varje naturligt tal antas kunna bry-tas ned till 1:or, så att då till exempel 4=1+1+1+1, detta då korresponderande mot ”fyra” streck (| | | |).

 

Eventuellt kan även 0 antas ingå: {x}=y0,y1,y2,y3,..,yn; 0≤n<∞’, i meningen att y0=0, där 0 då kanske bäst (i enlighet med fotnot i före-gående avsnitt) definierar idempotent tomrum, även om det mer intuitiva i sammanhanget är att 0 definierar variabelt tomrum, det som återstår när elementen plockats bort (detta förstås i en idealiserad värld, där elementen existerar i ett tomrum, särskilt inte i en atmosfär, i vilket fall förstås atmosfär återstår när elementen plockats bort).*

 

Delmängd (motsvarande Separationsaxiomet, vilket dock definierar mer specifikt/inskränkt (mindre allmänt)):

 

yÎx, där y(={z}(Îx)) även kan vara x, alltså xÎx är giltigt ((det fulla/kompletta) x(={y}) är en ”delmängd” av sig självt (x={y})).

 

Union (motsvarar Unionsaxiomet):

 

x+y-s.

 

Där s (skärningen) är eventuella z x och y äger gemensamt:

 

sÎx,y.

 

s måste (rationellt) exkluderas i unionen, annars räknas s dubbelt (om blott x+y och x och y äger en skärning).

 

|n(|x)-m(|y)|=r, där r är antalet fler z x/y äger än y/x.

 

Om x och y äger lika många z, alltså n=m, så:

 

r=0.

 

Detta är den elementära mängdläran med grund i Up. Ytterligare definition för in i abstraktion av högre grad, inte direkt definierbar eller synlig blott givet ett kluster av Up-x, eller mx (givet E-teorin), förutom grundläggande aritmetik, som relativt enkelt kan slutas till givet denna Up-grund. Utan ytterligare mängdteoretisk (matematisk) definition handlar (rationellt) om det specifika fallet, vad det specifikt är som behöver antas för att teorin/analysen ska komma vidare (vad som specifikt önskas få ut av matematiken).

 

__________

* Konventionellt finns begreppet Den tomma mängden, ofta definierad Æ, definierad som elementlös mängd, eller mängd utan element. Ett element består av (är ett kluster av) egenskaper, så Æ kan ekvivalent definieras egenskapslös mängd, vilket är en kontradiktion, givet att begreppet mängdIntet. Utan om Æ ska vara ett rationellt begrepp, så måste ”mängd” ses vara något, och närmast till hands givet det föregående är förstås tomrum, idempotent eller variabelt. Snarast idempotent eftersom Æ hävdas vara en unik entitet, det senare vilket dock är kontradiktoriskt, eftersom Æ (konventionellt) antas tillhöra alla mängder, vilken som helst, med vilket det finns många Æ, en i varje (separat) mängd, om nu inte Æ antas kunna superklona sig, vara en superklon. Dessutom är det ointuitiv att samma Æ skulle återstå när elementen plockas bort, oberoende av mängd (elementens beskaffenhet). Nej, variabelt tomrum är mer intuitivt, som definition för Æ. Vilket då definierar Æ vara 0, variabelt 0. Även om då idempotent 0 är mer rationellt. Men om matematiken håller sig inom det finitas gränser, så kan Æ som variabelt 0 hållas fast vid utan problem. Även om det matematiskt bästa är att förkasta Æ som begrepp, och i stället nyttja 0, antingen i meningen idempotent eller variabelt tomrum (E), beroende på vilket som passar bäst i den specifika kontexten.