Formalism

Om formalisms opålitlighet

Lp (Lika fördelningsprincipen) antas:

Lp) [∆x~∆y]=[x~y], där ~ definierar tillämpligt relationstecken.

Att en relation (mellan x och y) inte förändras om argumenten/variablerna förändras lika (definierat av ∆). Lp är en vanligt antagen princip, särskilt i matematik.

Givet Lp kan till exempel vidare antas:

E≠∞*:

E+E+∞*≠∞*+E+∞*(; Lp).

För att komma vidare antas:

A) Termer kan när Up’ nyttjas unifieras till platser (i vilka det unifierbara befinner sig) i satser efter behag.

Givet A så gäller givet Up’:

E+∞*≠E+∞*:

E=∞*; Kp.

I detta fall står det per definition endast mellan två alternativ, att det hela är fullständigt falskt är uteslutet, antingen = eller ≠, och eftersom ≠ leder till en kontradiktion, så är det = som gäller; Detta att utesluta alternativ tills endast ett alternativ återstår som möjligt kallas fint för reductio ad absurdum.

Med hjälp av Lp kan sålunda T2 bevisas, men hur det går till är omöjligt att se, finns det ingen som helst intuition i, tillägg av E+∞* på bägge sidor om ≠, jaha, vad innebär det, hur kan det försvaras, innebära något giltigt?

Antag vidare till exempel det intuitiva att:

d(x’,x)≠d(x’,x]; d(x’,x),d(x’,x]ÎE:

d(x’,x)+x≠d(x’,x]+x; Lp:

d(x’,x]≠d(x’,x]; Up’:

t2’) x)=x]; Kp.

Måhända är detta rationellt för p:n (t2, då definierande kontinuitet), men definitivt inte för till exempel volymer. Hursomhelst visar nyttjande av Lp i detta fall på nödvändigheten av tolkning, visst är (kanske) vettigt, annat blott absurt, i enlighet med tolkning då.

Vidare kan antas att det endast existerar finita distanser i E:

d(x,∞*)ÎE:

d(x,∞*]ÎE; t2’.

Ett bevis av T1, T1 som även kan bevisas mer direkt:

För Intet gäller per definition:

xÏIntet; x=[åtminstone en egenskap]:

x+xÏIntet+x; Lp:

xÏx; Up’; Intet+x=x eller IntetÎx:

T1 giltigt; Kp.

Definitionen av Intet för sålunda till en kontradiktion, givet vilket reductio ad absurdum slutsatsen är att Intet inte existerar; xÎx; Ip, x≠x, är simpliciter absurt, alltså att x som större eller mindre än sig självt (x>/<x) kan tillhöra sig självt (även holistiskt/meridioistiskt, är x={x’}±q={x’}±q, alltså varken större eller mindre än sig självt, att holistiska/meridioistiska x är större/mindre än det ursprungliga {x’} har inte med saken att göra, det viktiga är vad x är, nämligen då {x’}±q (holistiskt/meridioistiskt)).

Att E=∞* följer ovan blott av Lp, så för att mer uttryckligt visa att det är giltigt (i kontext av Lp) kan följande antas:

d(x’,x’’)=d(x’,x)+d(x,x’’)=∞*; d(x’,x),d(x,x’’)<∞*.

Givet detta existerar det ett x’’ före vilket d(x’,x’’) är finit, efter vilket d(x’,x’’) är infinit:

d(x’,x’’)<∞*; d(x,x’’)<∞*.

d(x’,x’’)=∞*; d(x,x’’]<∞*.

Vilket givet t2’ definierar d(x’,x’’)=d(x’,x’’] både vara finit och infinit i x’’, en kontradiktion, så åtminstone en delsträcka måste vara infinit, säg d(x,x’’), vilket definierar:

d(x’,x)+∞*=∞*.

Det kan tyckas att d(x’,x)+∞*>∞* (eller åtminstone ≥), men givet det kontinuerliga synsättet i enlighet med t2’(/t2), så måste två delsträckor kunna definiera (exakt) ∞*, detta vilket definierar att d(x’,x)=0’, eller mer allmänt att:

T2’) ∞*±0’=∞*; 0’=d(x,x’)<∞*.

Alltså att finita distanser är 0’ i förhållande till infinita distanser (≥∞*).

Existerar det distanser längre än ∞*? Inte finit adderat i enlighet med T2’, utan i så fall infinit adderat:

∞*+d; d≥∞*.

Vilket givet det kontinuerliga synsättet i enlighet med t2’ (och även T1, vilket redan nyttjats i E-avsnittet) definierar det existera distanser mellan ∞* och ∞*+d vilka inte existerar, vilket är absurt:

T2) E=∞*:

x<∞*; x≠E; xÎE.

Här för då Lp också rätt (givet T1), men mer intuitivt så än ovan, och faktiskt mer intuitivt än vid det blotta begagnandet av T1.

Även Up’’ kan bevisas givet Lp, antag Up’’ inte giltig:

x≠{x’}:

x+x+{x’}≠{x’}+x+{x’}; Lp:

x+{x’}≠x+{x’}; Up’:

Up’’ giltig; Kp.

Mer specifikt bevis av att alla xÎE är finita(/ändliga):

Antag inte:

x>E:

x+x>E+x; Lp:

x>x+x’; Up’, där x’ är eventuell del av E vilken inte tillhör x:

x≤E; Kp, vilket givet att x≠E:

x<∞*.

Antag mer allmänt:

x≠E:

x+E≠E+E; Lp:

E≠E; Up’(; xÎE):

x=E; Kp.

Vilket kan förefalla kontradiktoriskt, men faktiskt är intuitivt, givet T1, i enlighet med vilket alla (existerande) x(≠E) åtminstone måste existera som (eviga) möjligheter (inte ens en möjlighet kan (rationellt) uppkomma ur(/i) det icke-existerande Intet, eller för den delen försvinna i, övergå i att vara det icke-existerande Intet), med vilket frågan särskilt är hur x, vilka inte endast är möjligheter i E, kan skapas, vilket då redan redogjorts för i E-avsnittet.

Antag vidare:

x≠x’:

x+E≠x’+E; Lp:

E≠E; Up’(; x,x’ÎE):

x=x’; Kp.

Vilket särskilt gäller för rationella superpositionaliteter, men inte generellt, så här för Lp kategoriskt fel (och inget litet fel heller); Samma konklusion erhålls om x+x’ i enlighet med Lp, istället för E, läggs till på ömse sidor om ≠.

Ett annat fall då Lp för fel:

Antag att y och z kan vara olika även om de äger ett kluster ({x}) av gemensamma egenskaper:

y={x}’+{x}≠z={x}’’+{x}:

{x}’+{x}+{x}’+{x}’’≠{x}’’+{x}+{x}’+{x}’’; Lp:

{x}+{x}’+{x}’’≠{x}+{x}’+{x}’’; Up’.

Vilket givet Kp då definierar att y och z inte är olika, men nog kan x enligt erfarenheten vara olika trots att de äger ett kluster gemensamma egenskaper, tänker särskilt på siamesiska tvillingar.

Ja, Lp kan generellt simpliciter inte litas på, kanske duger den i viss kontext, i vilken det då rigoröst får undersökas för, och allmänt finns inget annat att göra än att hävda detta gälla för alla principer av ”högre ordning” (än de definierade i detta arbete, primärt då Up).

För att avsluta med ett bevis av FT (Fullständighetsteoremet) med hjälp av Lp, där X definierar en teori (bestående av satser x):

x*|xÏX per framledning, utifrån xÎX, men (oavgörbara) x*ÎX likafullt:

x*|x+x+x’ÏX+x+x’; Lp, X=x*+x+x’:

XÏX; Up’:

FT) x*|xÎX; Kp.

x* måste sålunda tillhöra X per framledning, om nu inte x* är antagna som axiom (oavgörbara x existerar inte).

Återigen ett ”jaha-bevis”. Resonemanget/bevisföringen i avsnittet: Allmän logik givet E, är förstås mycket mer tillfredställande, särskilt förstås med tanke på Lp:s otillförlitlighet. Allmänt på detta kan sägas att det alltid ska argumenteras på djupet, det som vill bevisas ska ”ses” genom argumentationen, inte som med hjälp av Lp blott ploppa fram.

Litteratur

https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_thought

https://plato.stanford.edu/entries/laws-of-nature/

A natural history of negation, Laurence R. Horn; CSLI Publications (2001)

https://plato.stanford.edu/entries/negation/

Principia Mathematica, A. N. Whitehead och B. Russell (andra upplagan 1927)

Language Proof and Logic, Barker-Plummer, Barwise, Etchemendy; CSLI Publications (andra upplagan 2011)

https://plato.stanford.edu/entries/logic-classical/

Principia Logico-Metaphysica, Edward N. Zalta (2025, pågående arbete): https://mally.stanford.edu/principia.pdf

https://en.wikipedia.org/wiki/Double_negation

https://en.wikipedia.org/wiki/Hypothetical_syllogism#As_a_metatheorem

https://en.wikipedia.org/wiki/Gödel%27s_incompleteness_theorems