T1) Det principiellt minsta är 0*:

 

Ø Intet existerar inte.

 

 

Världens gränslöshet

 

Givet T1 existerar inga gränser bortom vilka Intet existerar. Med vilket det direkt inses att 0*=E; t1, är ett gränslöst rum. Så att säga definierat, ”uppritat”, av ett ständigt irrande, överallt och ingenstans existerande 0*, vilket inte hittar en position.

 

Mer rigoröst, antag inte, eller i ett första steg åtminstone att det existerar gränslösheter större än E:

 

E<∞, ∞=gränslöshet:

 

E+E<∞+E; Fp:

 

E<x+E; Up’, där x=∞-E är det av ∞ vilket faller utanför E, vilket dock tillhör E, givet II, att E är Allt:

 

E<E; Up’:

 

E³∞; Up.

 

Givet detta senare antas att:

 

E>∞*; ∞*=min(∞):

 

E+E>∞*+E; Fp:

 

E>x+E; Up’, där x=E-∞* är det vilket eventuellt faller utanför E, vilket givet II hursomhelst tillhör E:

 

E>E; Up’:

 

t2) E=∞*; Up.

 

E är alltså en minsta gränslöshet, varav följer att alla rationella=empiriska e<E måste äga gränser, annars är de åtminstone minsta gränslösheter, eller då åtminstone E, vilket kontradikterar att e<E:*

 

t2’) Empiriska e är till sitt omfång finita(/ändliga); e<E.

 

—————

* Genom att förekomma analysen, kan följande, matematiskt, konstateras:

 

E kan givet t2 definieras bestå av ett minsta infinit(/oändligt) antal minsta volymer v:

 

E=’v; ’ är det minsta infinita naturliga talet (se vidare det kommande, särskilt Appendix I).

 

I enlighet med Fp gäller:

 

mE=’e; e=mv, m<’.

 

m är ett finit(/ändligt) naturligt tal(; e<E):

 

m=’e/E:

 

e/E=0; t6.

 

Ett e(<E, eller ekvivalent E) är alltså 0 i relation till E. Vilket i övermått (matematiskt) konstaterar e:s omfångsmässiga finitet.

 

 

Om bevisbarhet och (analytisk) sanning

 

T0

 

Satser xÎX antas inte kunna bevisas/härledas(/framledas) utifrån tillämpliga satser x’ÎX:

 

x|x’ÏX; xÎX:

 

x|x’+x’+x*ÏX+x’+x*; x*=X-x-x’, Fp:

 

XÏX; Up’:

 

T0) x|x’ÎX; xÎX; Up:

 

Ø xÎX är antingen (primära) x, vilka utifrån x’ÎX mer rigoröst argumenteras för (”bevisas”) vara tillhöriga X, eller mindre rigoröst (”axiomatiskt”, eller ad hoc) argumenteras för vara tillhöriga X (inga andra xÎX).

 

Det är, som redan det föregående visar, inte helt enkelt att skilja på ”bevis” och ”axiom”. Ska argumentationen för Idp till exempel ses som ett bevis? Det är åtminstone mer av ett bevis än antagandet av II, att E inkluderar alla e. Men ett bevis, i säg matematisk, eller konventionellt logisk mening? Nu är de senare disciplinerna, vilket kommer att visas i det vidare, inte konsistenta (kontradiktionsfria) teorier, men det finns i alla fall något mer strikt över dem. Vilket ganska naturligt blir fallet när en teori så att säga mognar.

 

T0 är oerhört fundamentalt. Det säger helt enkelt att det som hävdas måste kunna bevisas, eller svagare, åtminstone starkt måste kunna argumenteras för. Det måste så att säga finnas härledningsvägar från x’ tillhöriga teorin X ifråga, till alla x vilka bevismässigt hävdas tillhöra X. Annars tillhör x helt enkelt inte X, om nu inte x (ad hoc) blott antas tillhöra X, eller kanske efter lite argumentation (vilken inte kan ses som ett bevis).

 

Och det är oerhört svårt hävda det motsatta vara intuitivt, att det kan finnas x tillhöriga X, vilka inte axiomatiskt antas tillhöra X, vilka inte äger några härledningsvägar från några x’ tillhöriga X, vilka allmänt uttryckt inte kan bevisas av X, men vilka ändå antas tillhöra X. Mest förefaller detta handla om projektion, i ”realistisk” mening. För det kan i en extern verklighet (Ee) antas existera e’ vilka e (sett som medvetande) inte kan ”bevisa”, utan vilka blott existerar där i Ee(=e’), i någon mening bortom vad e kan förstå. Vilket förstås endast är ett antagande. Och här handlar det om av e definierade X. Att hävda att det i sådana X, alltså av e definierade X, existerar x, vilka e inte kan härleda, trots att x tillhör X, och x inte är axiom i X, är blott absurt, och står alltså i strängaste strid mot T0.

 

 

Lite relatering till den konventionella logiken

 

”Bevis”, handlar, i enlighet med det föregående, mycket om att utesluta kontradiktoriska x, x vilka strider mot (primära) x (kategoriskt) tillhöriga X.

 

En kontradiktion utesluter endast det kontradiktoriska x, säger allmänt inget om vilket x=x’ vilket eventuellt gäller istället, eftersom rekonstaterat följande gäller:

 

I) x’=E-x; x’=Ex; IV.

 

Vilket allmänt definierar en jättelik mängd av x. Ta till exempel ett träd=x. Icke-träd(/x)=x’ är till exempel stenen vid sidan av trädet, bilen som kör där borta, ego som sitter vid datorn, Up, etcetera, etcetera.

 

Utan denna mängd: x’, måste följaktligen definitionsmässigt snävas in, för att det ska finnas någon som helst möjlighet att mer direkt kunna hitta något specifikt x’ som ”alternativ” till x. Vilket kan göras på massor av sätt. Enklast är förstås att blott definiera något, till exempel icke-träd=Up, även om det inte ens är ad hoc (ändamålsenligt, eller det kanske det är i något sammanhang, någon kontext).

 

I Principia Mathematica, av Russell och Whitehead (1910-1913, reviderad 1927) finns ett axiom: *1.7, vilket lyder: ”If p is an elementary proposition, p’ is an elementary proposition”. Vilket givet Up kan tolkas som en kontradiktion: Om x så x’(=icke-x)? Eller: Om x är en sann proposition (ett i X antaget giltigt x), vad finns det då för mening med att tala om propositionen x’, vilken givet Up måste vara falsk (givet att x är sann)? Tolkningar Barker-Plummer, Barwise och Etchemendy i Language Proof and Logic (andra utgåvan (2011)) undviker genom att definiera följande (s. 68): ”Given any sentence P of FOL (atomic or complex), there is another sentence  ¬P. This sentence is true if and only if P is false.” (¬P=P’).

 

Ett antagande vilket likafullt allmänt står i strid mot I. Det är ontologiskt obegripligt, som generellt antagande:*

 

Det definierar den generella (kategoriska) existensen av x transcenderande ”spök/skugg-x”. Alltså utan att dessa x=x’ mer specifikt behöver definieras. Vilket faktiskt är K. Gödels ofullständighetsaxiom (1931) i ett nötskal (se till exempel referensen i **-fotnoten i förordet): Det existerar (sanna) x=x’ÎX vilka inte är en (logisk) följd av xÎX, utan vilka blott tillhör och är sanna i X (x’ är sanna per se, även om det brukar läggas till att x’ ska kunna uttryckas i X ”språk”). Vilket x’ principiellt givetvis gör, enär x’ är (axiomatiskt) antaget existerande. Dessa x’ kallas oavgörbara x. Ett ytterligare sanningsvärde, vid sidan av sant och falskt, i konventionell logik.

 

E-teoretiskt däremot, finns givetvis inga oavgörbara x, i enlighet med I, och särskilt T0. Även om analys i vissa fall, i undantagsfall, definitionsmässigt, självklart kan inskränka sig, inskränka sin domän, på så sätt att endast två alternativ: x och x’, föreligger (där x’ (per definition) är sant om x är falskt, eller vice versa). Såsom till exempel i ovanstående exempel: x=träd, x’=Up.**

 

__________

* På något sätt måste de vilka definierat ”*1.7” börjat i fel ände, redan från början språkligt begränsat sig, förutsatt någon språklig domän, i vilken ”*1.7” enligt dem gäller. Det finns förstås kontexter i vilka icke-x leder tanken mot något mer bestämt. Icke-Intet till exempel, det leder tanken till att åtminstone något existerar (givet Idp). Icke-inne, ja, då är det naturligt att det menas ”ute”. Men generellt? Det är platt att förutsätta alldeles för mycket.

 

** ”Lagen om det uteslutna tredje” är en evident implikation av, närmast ekvivalent med ”*1.7”. Vilken då givetvis inte gäller generellt sett i E-teorin.