Motbevis är att i enlighet med Kp visa att ett x strider mot något för sant hållet x i teorin ifråga.* Om x ovanligt inte går att motbevisa, så måste x gå att bevisa/framleda i teorin ifråga, om nu inte x vill antas som axiom (särskilt då kanske på grundval av ”empiri”, som då vad gäller (mx-)attraktionskraften), i enlighet med FT; Om (icke-axiomatiska) x antas tillhöra en teori utan att kunna motbevisas eller bevisas, så är det simpliciter frågan om i enlighet med FT irrationella oavgörbara/oberoende x.

 

__________

* Det räcker sålunda med det för kontradiktoriskhet, behöver inte nödvändigtvis vara frågan om en (absurd) p-superpositionalitet, vilket i enlighet med N är en konventionellt vanlig syn, att både x och y(=icke-x) i N, ”kontradiktoriskt”, inte kan gälla samtidigt, ”Motsägelsela-gen” ((x Ù y)’; N). Fundamental logiken definierar således mycket mer allmänt, ”löst”, eller snarare faktiskt väldigt mycket mer strängt. Det räcker med minsta avvikelse från något antaget sant (x), så är detta avvikande falskt (x(=y)≠x är falskt (för x)).

 

 

Principia Mathematica

 

Principia Mathematica, på sidorna 94-97, återgivna på nätsidan Law of thought, definierar dessa sex ”primitiva propositioner” av vikt (vilka här definieras med = istället för ® (É), vilket inte förändrar någonting, eftersom intensionen med ®, precis som med =, är att vänsterledet kan utbytas mot högerledet, ja, snarare är det bättre med =, eftersom ® förlorar (den svagare) innebörden (≠[=]) att kunna implicera utan att det är frågan om implikativ identitet om [®]=[=]):

 

2) (x Ú x)=x(; x=(x Ú x)).

 

3) y=(x Ú y).

 

4) (x Ú y)=(y Ú x).

 

5) (x Ú (y Ú z)=(y Ú (x Ú z).

 

6) (y ® z)=((x Ú y) ® (x Ú z)).

 

7) If x is an elementary proposition, x’=y is an elementary proposition (=N).

 

Dessa principer förutsätter Principia Mathematica vara sanna utan bevis, allmänt är ingen av dem självklart sann, förutom 2, bortsett från parentesuttrycket, vilket faktiskt (parentesen) Klassiskt logiskt är den viktigaste delen av detta axiom, 2 som verkligen är ett axiom till skillnad från de övriga uttrycken med undantag av 7. 3-5 är definitivt inte självklart sanna. 6 gäller förutsatt att x inte implicerar z, vilket x förstås allmänt kan göra, i vilket fall formeln lyder: (y ® z)=((x Ú y) ® z); x ® z, och med vilket förstås 6 är falsk. Dock är 3-6 sanna givet 7 och 2 (2 som är i enlighet med det mer allmänna Tp). 7 som definierar N, om än 7 endast definierar att x=y, att y=x gäller under-förstått, simpliciter eftersom Principia Mathematica (Klassisk logik) antar Dl (Dubbla negationens lag) gälla, vilken alltså förutsätter ett antagande av N (utan (antagande av) N existerar (gäller) inte Dl):

 

3:

 

y=(y Ú y):

 

y=(x Ú y); N.

 

4:

 

(x Ú x)=(x Ú x); 2 och att x=x, vilket då gäller givet N, som mer specifikt då definierar att N=(x « y),(x ® y),(y ® x),x,y=N(; N):

 

(x Ú y)=(y Ú x); N.

 

5:

 

Givet 4:

 

(x Ú y)=(y Ú x):

 

(x Ú (y Ú y))=(y Ú (x Ú x)); 2:

 

(x Ú (y Ú y))=(y Ú (x Ú y)); N:

 

(x Ú (y Ú z))=(y Ú (x Ú z)); z=y; z=x,y; N.

 

6:

 

(y ® y)=((y Ú y) ® (y Ú y)); 2:

 

(y ® y)=((x Ú y) ® (x Ú y)); N:

 

(y ® z)=((x Ú y) ® (x Ú z)); z=y.

 

Det är alltså 7, eller då N, som är den primära principen, och sen då 2 (eller mer allmänt Tp), 3-6 är teorem vilka följer på dessa två prin-ciper. Detta vilket följaktligen Principia Mathematica inte såg, evident så, annars skulle naturligtvis inte 3-6 sättas upp som axiom (”pri-mitiva propositioner”, utan då ha bevisats). Och ingen annan heller har sett, tills detta arbete, förunderligt minst sagt. För att ytterligare exemplifiera med hur N-logiker (Klassiska logiker) grundläggande ser på sin N-logik, så kan en titt tas på följande nutida (i skrivande stund pågående) verk:

 

Principia Logico-Metaphysica

 

Som definierar följande tre ”axiom” i kapitel 8:

 

1) x=(y ® x).

 

Vilket förstås direkt följer från N (N=(y ® x),x=N; N).

 

2) (x ® (y ® z))=((x ® y) ® (x ® z)).

 

Redan bevisat, men för att ta det igen:

 

(x ® y)=(x ® y); N:

 

(x ® (y ® y))=((x ® y) ® (x ® y)); Tp:

 

(x ® (y ® z))=((x ® y) ® (x ® z)); z=y.

 

3) (x’ ® y’)=((x’ ® y) ® x).

 

Det är lite fascinerande att N-logiker hittar dessa uttryck utan att (vad det verkar) ta direkt hjälp av N, men givet N, i sammanhanget sär-skilt att x’=y och y’=x, och Tp, så är 3 förstås ett trivialt teorem:*

 

(y ® x)=(y ® x):

 

(x’ ® y’)=((y ® y) ® x):

 

(x’ ® y’)=((x’ ® y) ® x).

 

I kapitel 9 sätts en mängd formler upp, vilka alla är lätta att bevisa givet N och Tp, för att ta några ur högen, då givet N och Tp:

 

(x ® y)=y:

 

(x ® y)=x’:

 

(x ® y)=(x Ù x)’:

 

ü (x ® y)=(x Ù y’)’.

 

x=x:

 

y’=(x Ù x):

 

ü (x ® y)’=(x Ù y’).

 

(x ® y)=y:

 

(x ® y)=(y Ú y):

 

ü (x ® y)=(x’ Ú y).

 

x=x:

 

y’=(x ® x):

 

(y Ù y)’=(x ® y’):

 

ü (x Ù y)’=(x ® y’)(; N).

 

y=x’=(N)’ (y=N gäller också, så här är N-logik kontradiktorisk, vilket N-logik (förstås) bortser ifrån, givet att den antar N (med vilket förstås konsekvenserna av detta antagande (denna giltighet) blott får tas/accepteras, vilket inom parentes sagt betyder att många N-logiska formler sorteras bort, eftersom de Klassiskt logiskt är så uppenbart ointuitiva (kontradiktoriska),** men då inte påföljande, eftersom den är intuitiv, om än då motsäger/kontradikterar giltigheten av N (x vilka framleder kontradiktioner är falska (Kp)), vilket N-logiker simpli-citer inte ser, eftersom de inte har N explicit framför ögonen, ja, de ser helt enkelt inte N, är omedvetna om N:s betydelse, trots att de då explicit många gånger definierar N, då genom att anta att x’ är en proposition om x är det (och vice versa))):

 

ü (x=x’)’.

 

N=N:

 

ü (x=y)=(y’=x’).

 

N=N:

 

(x=y)=((x ® x)=(y ® y)):

 

(x=y)=((x ® y)=(y ® y))(; N):

 

ü (x=y)=((x ® z)=(y ® z)); z=y.

 

N=N:

 

(x=y)=((x Ù x)=(y Ù y)):

 

(x=y)=((x Ù y)=(y Ù y)):

 

ü (x=y)=((x Ù z)=(y Ù z)); z=y.

 

N=x:

 

(x=y)=(x Ú x):

 

(x=y)=((x Ù x) Ú (x Ù x)):

 

(x=y)=((x Ù y) Ú (y Ù x)):

 

ü (x=y)=((x Ù y) Ú (x’ Ù y’)).