[”Dubbla negationens lag”]=0 allmänt sett (inte givet N).

 

[”Dubbla negationens lag”]≠0; N, särskilt givet att (E-x)’=x (alltså att negering av residualen till x, Världen exklusive x, definierat är x, inte till exempel då docka eller Bibeln).

 

__________

* Se till exempel: https://en.wikipedia.org/wiki/Double_negation

 

Ett bevis vilket nyttjar fyra satser vilka följer ur N, då istället för att direkt bevisa ”Dubbla negationens lag” med hjälp av N, det krånglas helt enkelt till, de fyra satserna i detta arbetes symboler är:

 

1) y=(x ® y). (Łukasiewicz skriver konsistent med 2 och 3: x=(y ® x), vilket inte spelar någon roll, men de flesta tänker sig nog 1 som 1, givet att x i alfabetet kommer före y, alltså att det är något före y, då x, som implicerar (ger) y.)

 

2) (x ® (y ® z))=((x ® y) ® (x ® z)).

 

3) (x’ ® y’)=(y ® x).

 

4) x=((x ® y) ® y).

 

1 är redan bevisat ovan, och sats 3 följer förstås direkt givet N, att x’=y och y’=x (på vilket då vidare följer att x’’=x, y’’=y, detta senare (”Dubbla negationens lag”) vilket då Łukasiewicz krånglar till, primärt då genom att bevisa ”Dubbla negationens lag” genom 1-4). 2, en Lp-princip, kräver lite mer, men givet definitionen ovan, så gäller att:

 

(x ® y)=(x ® y):

 

(x ® (y ® y))=((x ® y) ® (x ® y)), givet Tautologiprincipen:

 

2) (x ® (y ® z))=((x ® y) ® (x ® z)); z=y.

 

”Krånglar till”, ja, det är faktiskt så att Kl inte ser N:s fundamentalitet, inte ser att till exempel 1-3 är framledningar från/ur N, utan antar särskilt 1-3 vara axiom, vilket de då simpliciter inte är (utan teorem, om än väldigt simpla teorem).

 

4 kallar Łukasiewicz för ett lemma, också lätt att bevisa direkt från N givet Tautologiprincipen:

 

x=y=(y ® y)=((x ® y) ® y).

 

Och i detta ”krångel”, vilket då egentligen är väldigt enkelt, simpelt, så är det väl blott så att Kl läser in betydligt mer än vad det egent-ligen handlar om, Kl övertolkar.

 

Łukasiewicz krångliga bevis inkluderar något som kallas hypothetical syllogism metatheorem, vilket handlar om villkorssatser, särskilt om indirekta slutsatser, att det är x som föranleder y om (endast) y är givet, vilket förstås gäller givet N, att det skulle kunna vara å, ä, ö eller något annat x som föranleder y är uteslutet (givet N). Avslutningsvis, eftersom det är rätt kul att kontrollera Kl:s tillkrånglade bevis, så kontrolleras (i enlighet med definitionerna ovan) ”HS1” och ”HS2” på: https://en.wikipedia.org/wiki/Hypothetical_syllogism#As_a_-metatheorem:

 

(y ® y)=(((x ® y) ® (x ® y)):

 

HS1) (y ® z)=(((x ® y) ® (x ® z)); z=y.

 

(x ® y)=((x ® y) ® (x ® y)):

 

(x ® y)=((y ® y) ® (x ® y))(; N):

 

HS2) (x ® y)=((y ® z) ® (x ® z)); z=y.

 

Detta Lp-formler, för att även ta två distributiva formler till slut:

 

x=(x Ù x)=(x Ù y)=(x Ù (y Ú y))=(x Ù (y Ú z)); z=y.

 

x=(x Ú x)=((x Ù x) Ú (x Ù x))=((x Ù y) Ú (x Ù y))=((x Ù y) Ú (x Ù z)); z=y.

 

Så:

 

(x Ù (y Ú z))=((x Ù y) Ú (x Ù z)).

 

x=(x Ú x)=(x Ú y)=(x Ú (y Ù y))=(x Ú (y Ù z)); y=z.

 

x=(x Ù x)=((x Ú x) Ù (x Ú x))=((x Ú y) Ù (x Ú y))=((x Ú y) Ù (x Ú z)); y=z.

 

Så:

 

(x Ú (y Ù z))=((x Ú y) Ù (x Ú z)).

 

Att det kan manipuleras på detta triviala sätt beror förstås (primärt) på N, att det endast är två alternativ (x och y, vilka implikativt iden-tiskt pekar ut varandra)^ som är relevanta (där x är sant om y är falskt, och vice versa), alltid. Utan det (vanvettigt (måste sägas) absurda) antagandet kollapsar Kl till ingenting, hur mycket det än kan tyckas finnas intuition/värde i de utifrån N framledda formlerna. Utan vill dessa, eller åtminstone någon/några av dessa Kl/N-formler ändå nyttjas, så får de blott antas (inte att rekommendera; Det som antas bör argumenteras för), eller argumenteras för på annat sätt än genom hänvisning till N, bevis utifrån N.

 

^ Rationellt (Fundamentallogiskt) finns då inga x vilka implikativt identiskt pekar ut varandra, utan det handlar alltså om att definiera vad som är sant, eller om något x antas vara falskt, eventuellt hitta, definiera, en ”ersättare” y till x (det skrivs ”ersättare” eftersom det inte är givet att det finns någon ersättare≠0 till x). En ”ersättare” vilken förstås står att finna bland alla y=x’(=icke-x). En ”ersättare” vilken kan vara många y, men endast ett y ersätter x, i enlighet med Up, om x ersätts. En ”ersättare” vilken eventuellt kan definieras, konstateras vara 0, alltså ingenting, x är tomrum, eller med andra ord platt falskt, ingen ”ersättare” y≠0 till det falska x står/finns att finna. Detta då i skarpaste kontrast till Kl som definierar N, att det alltid finnas en ”ersättare” till x, vilken x dessutom implikativt identiskt pekar ut, nämligen då det specifika, unika y (i enlighet med N). Ett y vilket Kl antar vara ≠0 av begripliga skäl, vilket redan berörts, för allmänt, om y=0, vilket x≠0 pekar implikativt identiskt ut y=x’=0? Eller omvänt, än mer prekärt, vilket är det y(=x’≠0) vilket x=0 implikativt identiskt pekar ut? Alltså mer uttryckligt: vilket specifikt, unikt x, vilket inte är tomrum, definieras av icke-tomrum?

 

N-logikens sanningsvärdetabell för N (igen):

 

   x              y

 sant         falskt

falskt         sant

 

Är rätt upp och ned försåtlig, om även 0 antas ingå som möjlighet för x och y, då är den faktiskt (vilket redan delvis berörts) generellt sann; Om x antas vara sant, så är alla y, per definition, falska, även om det kan finnas ”ersättare” y till x som lika sant definierar x, men nu är det då x som (per antagande) definierar x (sant), med vilket även dessa eventuella ”ersättare” är falska. Och om x antas vara falskt, så finns det alltid något y som är sant om 0=y inkluderas, i vilket fall då x så att säga är totalfalskt, det finns ingen ”ersättare”=y≠0 till x, utan y är då 0 (y=0). Utan vederläggning av Kl måste följaktligen gå djupare än att blott se till denna tabell (på detta vidare sätt, än hur Kl ser på den, Kl som då särskilt utesluter möjligheten att x och y kan vara 0), vilket då särskilt innebär syn av N.

 

För att ytterligare visa på (den stora) skillnaden mellan Kl och Fundamental logik (Fl), så antag till exempel följande uttryck:

 

((x Ú y) Ù z’)’.

 

Om x, y och z alla antas vara sanna (bortsett från att z=x,y i enlighet med Kl/N), så gäller i enlighet med Kl:s regelverk att x Ú y i paren-tesen är sant och att z’ är falskt, vilket enligt Kl gör parentesuttrycket falskt, och hela uttrycket sant. Och detta då i N-mening, hela uttrycket definierar något specifikt unikt x (vilket förstås även z’ N-logiskt gör (bortsett från att z=x,y i enlighet med Kl/N)).

 

Enligt Fl är z’ falskt (och z definierat som z(≠x,y) är förstås inte x eller y), och x Ú y strikt falskt, eftersom endast ett x kan gälla i enlighet med Up för ett (fenomen) x (x Ú y är ett nonsensuttryck i den meningen), men mer allmänt (löst) kan x Ú y ses som sant så att säga innan ett val mellan x och y är gjort, givet att både x och y definierar (fenomenet) x sant. Givet denna senare Fl-tolkning så definierar parentes-uttrycket något som är både sant och falskt, vilket är falskt om det är (ett) x som ska bestämmas, då kan inte både x (eller y) och z’ vara sant (i enlighet med Up), i vilket fall hela uttrycket (förstås) är sant (om nu inte z’=x förstås, vilket definierar ytterligare alternativ att utröna), men allmänt kan dock parentesuttrycket definiera ett sant uttryck, simpliciter definierande vad som är sant, nämligen då x eller y, och vad som är falskt, z’ (om nu z’ är specifikt definierat förstås), vilket förstås gör det falskt att förneka det ((x Ú y) Ù z’) är sant och ((x Ú y) Ù z’)’ falskt).

 

Så vad som definieras, avses med symbolerna, symbolhanteringen, är följaktligen av oerhörd betydelse. Kl gör det alldeles för enkelt för sig i sitt sant/falskt-generaliserande utifrån N.

 

 

Zermelo-Fraenkels axioms Up-konsistens

 

Antas existens av superkloner i strid mot Up’ (för ändamålet (definition av) matematik), så gäller simpliciter Extensionalitetsaxiomet (1, se Zermelo-Fraenkel-artikeln bland referenserna).

 

Vidare givet Separationsaxiomet (2), föregående referens i parentesen, och Up’, så gäller för 2:s parentes:

 

"y$z(xÎz « xÎy(Ù x)).

 

Ù-tillägget i 2, att x ska äga viss egenskap, definierar givet Up’ simpliciter, det parentetiska tillägget i uttrycket ovan, att det handlar om superkloner, att x är superkloner.

 

Nyttjande begreppet för alla (möjliga) y ("y) kan detta tolkas vara giltigt, men mer specifikt är det alls inte givet att x också tillhör y om xÎz, utan för det måste zÎy åtminstone delvis:

 

xÎz ® xÎy; (xÎz)Îy.

 

Unionsaxiomet (3) vidare, parentesen i det:

 

xÎy Ù yÎz ® xÎu.

 

Detta måste särskilt, givet 3, tolkas i enlighet med det krångliga förtecknet " (för alla), en mycket begripligare definition är:

 

xÎy Ù xÎz ® xÎu.

 

Paraxiomet (4), parentesen i det:

 

xÎz Ù yÎz (® x,yÎz).

 

Ja, inga konstigheter där.

 

Potensaxiomet (5), parentesen i det:

 

yÍx ® yÎz.

 

Vilket identiskt kan skrivas, eftersom specificerandet i enlighet med Í-tecknet att alla element i y också är element i x är onödigt:

 

yÎx ® yÎz.

 

Varje (delmängd) y räknas endast en gång i potensmängden z, så detta måste villkoras:

 

yÎx ® yÎz; yÎz endast en gång.

 

Potensmängder är rent abstrakt definition, vilken Fundamentallogiskt åtminstone tenderar att gå över gränsen för vad som är rationellt (även om den gränsen då redan är överskriden genom definitionen av Extensionalitetsaxiomet, så behöver den inte överskridas än mer).

 

Regularitetsaxiomet (6), i vilket Æ (”den tomma mängden”) Fundamentallogiskt ska utbytas mot 0:

 

x≠0 ® (yÎx Ù yÇx=0).