1.3 kan i enlighet med föregående stycke skrivas om till det (relativt x ® x) mer allmänna: x ® x’, vilket fortsatt står i strid mot Up, men det finns viss intuition i det, i tolkningen att x’(¹x) följer på x: om x, så x’ (modus ponens). Även om föregående exempels bil och cykel inte fungerar i sammanhanget: Om bil, så cykel. Det är faktiskt direkt kontradiktoriskt.

 

Att 1.3 allmänt är falsk även i denna omskrivning, inses kanske lättast efter att ha också ha läst avsnittet: Empiriska fenomen, vilket allmänt definierar att en x-förändring är en formationsförändring i en mängd av minsta beståndsdelar (me):

 

({me} ® {me}’) ® (x|{me} ® x’|{me}’).

 

Där x och x’ är någon andra (eller högre) ordningens predikattolkning av {me} och {me}’. I enlighet med detta är en [x={me}]-förändring att me ändrar sin(a) position(er), och att me eventuellt tillkommer eller försvinner från {me} ifråga (detta berördes redan i avsnittet: Lite utveckling av Ip/Up). Det fundallogiskt fundamentala är att me platt är me, i enlighet med Up: me=me, eller ekvivalent: me ® me. Och att [x={me}]-förändring är formationsförändring i {me}, då i meningen positionsförflyttning av me (me(=me) rör sig från en position till en annan, vilket kan definieras me(p) ® me(p’), där p definierar två olika positioner (vilket strikt Up-rigoröst faktiskt definierar me(p) och me(p’) som olika, vilket faktiskt är intuitivt på sitt sätt, men mer visar på att Up är en existentiell referens, vilken strikt tolkad emellanåt är för sträng), se vidare avsnittet: Empiriska fenomen) och eventuell förändring av antalet meÎ{me}.

 

Med detta kan konkluderas, att för att den mer allmänna definitionen x ® x’ ska tolkas (fundallogiskt) rätt, så måste denna djupare me-tolkning vara med, så att säga finnas med i bakgrunden. Om inte, så är det rätt och slätt frågan om kontradiktorisk, irrationell teori; Det är inte x som ger upphov till (eventuellt) x’, utan me i allmän mening, eller eventuellt vakuumkontraktioner, se vidare avsnittet: Empiriska fenomen. Även om det definieras att x={me}, så är det fortsatt {me}, eller någon till {me} exogen mängd me ({me}’), eller vakuumkontraktioner, som förorsakar förändring i {me}(=x). Det är under alla omständigheter inte x som förorsakar förändring, utan alltså me (eller måhända vakuumkontraktioner).

 

Det kan tyckas likgiltigt att tala om x eller {me}, givet att x={me} per definition, men det är det inte. Det för direkt in i holistiska tankegångar, att det finns något ytterligare bestämmande utöver me (och vakuumkontraktioner).

 

1.4: [(x Ú x’) ® (x’ Ú x)] ® [(x Ú x’)’ ® (x’ Ú x)’]; Fp ® [(x’ Ú x’’) ® (x’’ Ú x’)]; Dp ® [(x’ Ú x) ® (x Ú x’)]; Dl’.

 

1.4 är det följaktligen heller inget E-teoretiskt problem med.

 

1.6: (x ® x’) ® ((x’’ Ú x) ® (x’’ Ú x’)).

 

I enlighet med Up är x’=x givet att x ® x’ (x ® x gäller alltså i enlighet med Up), med vilket konklusionen är evident. Icke-strikt, mer allmänt, är konklusionen lika evident: Om x’(¹x) (alltid) följer på x, så gäller det i alla sammanhang i vilka x förekommer: x kan bytas ut mot x’, såsom då till exempel i 1.6.

 

 

Definition av 0* och indirekt bevis av T1

 

Om ett p:s (en punkts) position exkluderas (från p), definieras:

 

x=p-[p:s position]; p=[icke-utsträckning med position]:

 

x=p+[p:s position]’; IEp.

 

p:s position är p:

 

x=p+p’=p+Ee=E=0*; III, t2:

 

x=0*.

 

Och eftersom ett p efter exklusion av sin position är en icke-utsträckning (allena), så gäller att:

 

0*=[icke-utsträckning (utan position)].

 

Om ett 0*:s icke-utsträckningen exkluderas (från 0*), så kan Intet förväntas definieras:

 

Intet=0*-[0*:s icke-utsträckning]:

 

Intet=0*+[0*:s icke-utsträckning]’; IEp.

 

0*:s icke-utsträckning är 0*:

 

Intet=0*+0*’=0*+E’=0*+0*; t2:

 

Intet=0*; Up’.

 

En kontradiktion. Intet definieras alltså inte som förväntat, utan det hela stannar cirkelmässigt i 0*:

 

T1) Det principiellt minsta är 0*:

 

Ø Intet existerar inte.

 

Givet t2 gäller alltså att E=E’=0*. 0* som alltså är en icke-utsträckning utan position, vilket definierar 0* som överallt och ingenstans existerande. 0* ritar så att säga omedelbart upp E-gränslösheten (t1), eller annorlunda uttryckt: det obegränsade rummet, eller den obegränsade rymden, genom att inte ”hitta” någon position.

 

Med detta kan t1 och t2 avslutningsvis sammanfattas i ett teorem:

 

T2) E=∞*,0*:

 

e=[finit e]; e≠E.

 

E kan således antingen ses definierat av ∞* eller av 0*. Båda begreppen sålunda definierande E som en minsta infinitet. Vilket vidare då definierar alla e(≠E) som finita.

 

Med detta är allt väsentligt sagt, vad gäller E, men lite ytterligare om E i avsnittet: Empiriska fenomen. Innan dess lite ren (fundal)logik, föregående definitioner definierar:

 

 

T0

 

Definitioner(/satser) x tillhöriga en teori X: xÎX, antas inte kunna bevisas(/framledas(/härledas)) utifrån tillämpliga satser x’ÎX:

 

x|x’ÏX; x,x’ÎX:

 

x|x’+x’+x*ÏX+x’+x*; x*=X-x-x’, Fp:

 

XÏX; Up’.

 

Vilket givet Up(/Kp) ger:

 

T0) x|x’ÎX:

 

x måste alltså kunna bevisas av x’ÎX, för att tillhöra X, förstås givet att x inte obevisat (ad hoc) antas som axiom (hypotes) i X.

 

x vilka tillhör X är alltså antingen axiom (i X), eller utifrån x’ÎX (i X) bevisade x. Inga andra möjligheter finns för x att tillhöra X, om så antas gälla är det simpliciter frågan om kontradiktorisk teori (givet T0).

 

Det måste så att säga existera en framledningsväg till varje icke-axiomatiskt x, eller om det ses omvänt: En härledningsväg tillbaka från alla icke-axiomatiska x till axiomen. Gör det inte det, det allmänt uttryckt så att säga existerar en lucka i framledningsvägen/härledningsvägen, så tillhör ett icke-axiomatiskt x simpliciter inte X.

 

Icke-axiomatiska x vilka antas tillhöra X trots sådana ”luckor”, antas simpliciter ad hoc tillhöra X. Även om det tolkningsmässigt kan vridas till att x definierar sig själva tillhöra X, utan att då kunna bevisas av X, liksom de heller då inte är axiomatiskt antagna i X. x blott tillhör X, utan att vara vare sig axiom, eller vara bevisbara av X. Vilket definierar så kallad platonism, eller mer allmänt ”realism”, se vidare nästa avsnitt.

 

Motbevis talas det ofta om, vilket simpliciter är att visa/påvisa/konstatera att x strider mot x’ÎX, att x inte är konsistent med x’ÎX, med vilket x givetvis inte tillhör X i enlighet med Up(/Kp); x’ är ju unikt, så något ytterligare fenomen x finns inte för det fenomen x’ definierar, utan x måste uteslutas om x’ är sant (axiomatiskt eller bevisat).*

 

Om x inte kan motbevisas av X, så betyder det inte att xÎX. Utan x måste i enlighet med T0 kunna bevisas av X (utifrån x’ÎX) för att tillhöra X, om x nu inte axiomatiskt antas tillhöra X, givetvis förutsatt att x inte strider mot x’ÎX (x kan motbevisas).

 

__________

* Men om x (kanske i enlighet med ”empirisk” erfarenhet) axiomatiskt antas vara ett kontradiktoriskt fenomen? x till exempel antas vara både en partikel=y och en våg=y’: x=[y+y’], vilket då fysikerna antar. Eller det antas att ett medvetande x både är något materiellt=y och något icke-materiellt=y’, vilket vissa holistiskt antar. Är det utifrån sådana per se kontradiktoriska antaganden möjligt att definiera konsistent teori? Vilken särskilt kan komma till (med X (till vilka x hör) konsistenta) kontradiktoriska slutsatser: x=y+y’? Eller mer allmänt, kan kontradiktoriska slutsatser följa ur axiom, om de så är kontradiktoriska per se, eller inte? Fundallogiken säger kategoriskt nej:

 

Rent allmänt antas något kontradiktoriskt x=y+y’ tillhöra X:

 

I) y+y’ÎX:

 

y+y’+yÎX+y; Fp:

 

y+y’ÎX+y; Up’, I.

 

Vilket strider mot I:

 

y+y’ÏX.

 

Det är x=y+y’ vilket konsistent (per definition) tillhör X, x=y kontradikterar följaktligen att x=y+y’, och tillhör med det (konsistent) givetvis inte X, vilket då förklarar varför y (konsistent) på höger sida inte kan unifieras med X.

 

Föregående argumentation gäller fullständigt oberoende av om x=y+y’ tolkas som ett axiom eller en framledd sats (en konklusion, en bevisad sats), vilket då fundallogiskt ger:

 

Axiom x får inte vara kontradiktoriska per se, precis som konklusioner x inte får vara kontradiktoriska:

 

x¹y+y’.

 

Denna formulering motsvarar inom parentes sagt hur ”kontradiktionsprincipen/motsägelselagen” konventionellt brukar definieras, nämligen: Ø(yÙØy). Utan x=x gäller alltså i enlighet med Up, och inget annat (x¹x’). Vilket i denna fotnot då utvecklats lite ytterligare till att x per se inte får vara kontradiktoriska. Vilket implicit underligger huvudanalysen, tas för givet i enlighet med Up, alltså genom det att varje x är unikt, och följaktligen inte är både det ena och andra (på en och samma gång), till exempel en bil och en cykel, utan då antingen är en bil eller en cykel (eller något annat unikt). Men genom denna fotnot är detta då mer rigoröst fastslaget vara fallet (fundallogiskt).

 

 

Lite ytterligare rörande T0

 

Detta att x(/X) definierar sig själv, ”existerar (medvetande)oberoende av definieraren av X”, kallas då platonism, eller mer allmänt för realism. Även om det då egentligen är frågan om ett ad hoc antagande, vilket bokstavligen är fallet i konventionell logik: Russell och Whitehead till exempel, definierar i Principia Mathematica (1910–1913, reviderad 1927) sidan 97 ett axiom 1.7 vilket lyder: ”If p[=x] is an elementary proposition, p’[=x’] is an elementary proposition”. En mer modern version av 1.7 definierar Barker-Plummer, Barwise och Etchemendy i Language Proof and Logic (andra utgåvan (2011)) sidan 68: ”Given any sentence P[=x] of FOL (atomic or complex), there is another sentence ¬P[=x’]. This sentence is true if and only if P[=x] is false.”

 

Givet T0 är 1.7 platt falsk, x’ kan (givet T0/rationellt) omöjligt definiera sig själv på det viset. Utan Alla x måste (rationellt) definieras, antingen då axiomatiskt (ad hoc), eller bevismässigt, utifrån x’ÎX, där X då är den definierade kontext i vilken x och x’ antas existera. Negationer utgör inget som helst undantag.

 

Intuitivt då? Finns det någon intuition i 1.7? Att x’ specifikt är definierat blott x är definierat? Tanken kan förvisso få för sig något x’ givet ett x, till exempel att x’=inne för x=ute, eller att x’=svart för x=vit. Men x’ kan i båda dessa exempel lika väl definieras vara till exempel en sten: x’=sten. Ja, x’=sten kan utan motsägelse definieras för Alla