Matematik

 

t6

 

Hur är förhållandet mellan 0* och det konventionella 0? För att svara på det krävs lite definitioner:

 

Kurvor eller distanser inkluderande sina ändpunkter definieras:

 

d[p,p’]; punkter: p, p’, är icke-utsträckningar med position: 0*+position.

 

Kurvor exkluderande sina ändpunkter definieras:

 

d(p,p’)=d[p,p’]-p-p’.

 

Vidare antas:

 

d(p,p’)¹d[p,p’]:

 

d(p,p’)+p+p’¹d[p,p’]+p+p’; Fp:

 

d[p,p’]¹d[p,p’]; Up’:

 

t3) d(p,p’)=d[p,p’]; Up.

 

En kontradiktion, om än en subtil sådan, givet punkters icke-utsträckthet. Men, likafullt en kontradiktion: Kurvor både inkluderar och exkluderar sina ändpunkter. Eller ekvivalent, så både inkluderar och exkluderar punkter sig själva, de både är och inte är. Vilket förövrigt gäller för alla mängder, se vidare nedan.

 

Punkter är sålunda kontradiktoriska, vilket betyder att all analys vilken utgår från punkter också är kontradiktorisk, med vilket punktbegreppet följaktligen borde förkastas, det har inte med empiriska e att skaffa. Förstås förutsatt att Up gäller för empiriska e. Men att anta Up inte gälla, är alltså irrationellt (in absurdum). Så det hela går (rationellt) inte att ändra på. Vilket är ett problem, eftersom p-begreppet är praktiskt, och det kommer fortsättningsvis att användas, alltså trots att det är kontradiktoriskt. Resultat vilka bygger på p-begreppet får med det simpliciter tas med en nypa salt, intuitivt tolkas: Förefaller resultat empiriskt relevanta, eller inte?

 

I enlighet med t3 gäller att np=np+2p, vilket endast ett infinit antal p kan uppfylla:

 

t4) dp=’p; n=1,2,3,..,(’-1),’,(’+1),(’+2),...:

 

p/dp=0; 0=1/’ (definition); x/x=1, 1x=x (matematiska antaganden, i enlighet med Fp).

 

’ är per definition det minsta infinita naturliga talet. ’-1 följaktligen det största finita naturliga talet:

 

Max(m)=’-1; m=1,2,3,..,(’-1):

 

Max(m)+1=’. 

 

Denna definition är kontradiktorisk, vilket visas i Appendix I. Dock väldigt subtilt så, varför det approximativt utan vidare kan antas.

 

För att relatera 0* till 0 antas:

 

’0*=x.

 

p/dp=1/’ och 0*/x=1/’, så p/dp=0*/x, eller:

 

p=dp0*/x.

 

Vilket om x=0* ger att p=dp, en kontradiktion. Om x=dp, att p=0*, också en kontradiktion. x kan principiellt inte vara mindre 0*, och om x>dp är p<0*, vilket inte heller kan gälla, så återstår gör endast att x=p och att p=dp0*/p:

 

p=’0*=0*/0.

 

0 kan givet T1 inte vara mindre än 0*. Och inte heller större än 0*, eftersom det betyder att 0>E(=0*):

 

0=0*.

 

Vilket särskilt principiellt betyder att p=1(=0*/0). Hur ska det tolkas? Rättfram förstås, att punkter är (det naturliga) talet 1. Eller annorlunda definierat kan E, givet t2, definieras bestå av ’ antal minsta volymer v:

 

E=’v; v=min[d(p,dy)]; pÏdy, dy=min[d(p’,dp)]; p’Ïdp:

 

mE=’e; Fp, e=mv:

 

m=’e/E.

 

m vilket alltså per definition ovan är ett finit naturligt tal.

 

Om det antas att e/E=0, eller ekvivalent att m/’=0, så följer att:

 

m=’0=p; m/’=0.

 

Om inte, så definierar m/’=e/E något mellan 0 och gränsvärdet 1=p(=E/E; e=E):

 

0m/’<p.

 

Men vad skulle det vara? Det är i så fall frågan om något rent abstrakt. För principiellt egenskapsmässigt existerar ingenting mellan 0(=0*) och p, i enlighet med vilket det rationellt kan antas att m/’=0:

 

t6) m=p=’0; m/’=0=0*; T1.

 

Det viktigaste i t6 är att finita naturliga tal är punkter, vilket lägger en mer fast, intuitiv grund för matematiken. Åtminstone vad gäller den grundläggande aritmetiska definitionen. t6 gör den så att säga mer påtaglig, hanterbar. Även om värdet av detta inte ska överdrivas. Eftersom t6 är framlett utifrån det kontradiktoriska t3. Vilket alltså definierar att punkter, kontradiktoriskt, på en och samma gång inkluderar och exkluderar sig själva, definierade som ingående i sträckor/distanser, mängder. Alltså mängdteoretiskt, vilket förövrigt gäller för alla e:

 

En mängd i vilken e och e’ ingår definieras i analogi med ovan:

 

M[e,e’].

 

Exklusion av e och e’ definierar:

 

M(e,e’)=M[e,e’]-e-e’.

 

Vidare antas:

 

M(e,e’)¹M[e,e’]:

 

M(e,e’)+e+e’¹M[e,e’]+e+e’; Fp:

 

M[e,e’]¹M[e,e’]; Up’:

 

t3’) M(e,e’)=M[e,e’]; Up.*

 

Mängdbegreppet per se är med detta kontradiktoriskt; en mängd vilken exkluderar e och e’ är identisk med samma mängd vilken inkluderar e och e’, vilket givetvis beror på Up. Som alltså definierar existensen av unika fenomen, och det allena. Vilket förstås omedelbart gör alla mängdefinitioner kontradiktoriska/inkonsistenta, rent abstrakta. Vilket också är intuitivt: Mängder är en universal (ett allmänbegrepp) människan definierar, särskilt utifrån de enskilda (partikulära) ting hon upplever existera i en omvärld (empiri). Vilket dock inte ska frånhålla från att definiera mängder, och annan (på p-begreppet grundad) matematik. Den kan vara praktisk, intuitiv. Och med det ge någon slags vägledning. Även om den då är ren abstraktion (kontradiktion) i enlighet med Up.

 

—————

* I enlighet med t3’ kan följande definieras:

 

M(M,M’)=M[M,M’].

 

Eller med andra ord att mängden(/klassen) M, vilken inte är medlem(/inkluderad) i sin egen mängd (i sig själv), är medlem i sin egen mängd (i sig själv), vilket är Russells paradox.^ Vilken visade att det inte går att definiera naturliga tal (och 0) med ”klasser”(/mängder), vilket Gottlob Frege sökt göra. Det ligger sålunda en inneboende inkonsistens i det, även om Bertrand Russell, med sin typteori, sökte rädda Freges Logicism. Förstås dömt att misslyckas i enlighet med t3’, om det nu inte nöjes med en inkonsistent/kontradiktorisk aritmetisk logicistisk grundval.

 

^ Se till exempel: Irvine, Andrew David and Deutsch, Harry, "Russell's Paradox", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2016 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = <https://plato.stanford.edu/archives/win2016/entries/russell-paradox/>.