Matematik

Empirisk ”matematik”

 

Givet E-teorin är empiriska punkter minsta volymer:

 

ep=v; v=min(V); V=volym.

 

v:s specifika beskaffenhet (form) lämnas öppen.

 

Den empiriska kurvan:

 

eK=d[v,v’]:

 

Min(eK)=v.

 

eK definieras av en rad av v, mellan och inklusive v och v’. Och ett minsta eK är alltså ett v.

 

Den empiriska ytan:

 

eY=d[eK,v’’]:

 

Min(eY)=v.

 

eY definieras av räta rader av v från eK till v’’(ÏeK). Och ett minsta eY är alltså också ett v.

 

Den empiriska volymen:

 

eV=d[eY,v’’’]:

 

Min(eV)=v.

 

eV definieras av räta rader av v från eY till v’’’(ÏeY).

 

Detta definierar den grundläggande geometrin i den empiriska världen. Vilken i princip endast duger till att räkna ”bollar”(=v) med. Även om det givetvis går att få en uppfattning om hur en lång en kurva bestående av till exempel 5v är om ”längden” på v är känd (inräknat eventuella mellanrum mellan v, vilka existerar givet t2(/T1), alltså inte är något vilket kan räknas bort (såsom görs inom topologin)). Ja, denna ”längd” kan ju till exempel definieras som (normeras till) 1. Eller givet metersystemet, till någon annan siffra, då beroende på bredden på v definierad med metersystemet. Med vilket längder, ytor och volymer kan sättas en siffra på, och det på så sätt kan erhållas en uppfattning om storlek, särskilt, eller egentligen endast (givet t2), relativt sett, mellan olika e.

 

Men längre går inte att komma utan abstraktion tillbaka till p-matematiken, vad gäller till exempel att beräkna vinklar (trigonometri) och annan abstrakt (beräknande) geometri.

 

Och aritmetiskt går det empiriskt inte heller att komma särskilt långt utan abstraktion tillbaka till p-begreppet. Även om det givetvis bakomliggande varje tal, refererande till talet (eller vice versa), i empirisk anda, kan tänkas existera v, istället för då p, givet t6, eller något annat abstrakt, till exempel antal, mängder. Eller så kan det förstås antas att talen inte refererar till någonting, alltså rent abstrakt aritmetisk talteori. Talen ses som existenser per se, inte som något ad hoc, definierade för ändamålet att beskriva mer fundamentala empiriska förhållanden.

 

 

t6

 

Hur är förhållandet mellan 0* och det konventionella 0? För att svara på det krävs lite definitioner:

 

En kurva eller distans inkluderande sina ändpunkter definieras:

 

d[p,p’]; punkter (p, p’) är icke-utsträckningar med position (0*+position).

 

Exkluderas ändpunkterna kan följande definieras:

 

d(p,p’)=d[p,p’]-p-p’.

 

Vidare antas:

 

d(p,p’)¹d[p,p’]:

 

d(p,p’)+p+p’¹d[p,p’]+p+p’; Fp:

 

d[p,p’]¹d[p,p’]; Up’:

 

t3) d(p,p’)=d[p,p’]; Up.

 

En kontradiktion, om än en subtil sådan, på grund av punkters icke-utsträckthet. Men, likafullt en kontradiktion: Kurvor både inkluderar och exkluderar sina ändpunkter. Eller ekvivalent, så både inkluderar och exkluderar punkter sig själva, de både är och inte är. Vilket förövrigt gäller för alla mängder, se vidare nedan.

 

Punkter är sålunda kontradiktoriska, vilket betyder att all analys vilken utgår från punkter också är kontradiktorisk, med vilket punktbegreppet följaktligen borde förkastas, det har inte med empiriska e att skaffa. Förstås förutsatt att Up gäller för empiriska e. Men att anta Up inte gälla, är alltså irrationellt (in absurdum). Så det hela går (rationellt) inte att ändra på. Vilket är ett problem, eftersom p-begreppet är praktiskt, och det kommer fortsättningsvis trots allt att användas, alltså trots att det är kontradiktoriskt. Resultat vilka bygger på p-begreppet får med det helt enkelt tas med en nypa salt, intuitivt tolkas: Förefaller resultaten empiriskt relevanta, eller inte?

 

I enlighet med t3 gäller att np=np+2p, vilket endast ett infinit antal p kan uppfylla:

 

t4) dp=’p; n=1,2,3,..,(’-1),’,(’+1),(’+2),...:

 

p/dp=0; 0=1/’ (definition); x/x=1, 1x=x (matematiska antaganden, i enlighet med Fp).

 

’ är per definition det minsta infinita naturliga talet. ’-1 följaktligen det största finita naturliga talet:

 

Max(m)=’-1; m=1,2,3,..,(’-1):

 

Max(m)+1=’. 

 

Denna definition är kontradiktorisk, vilket visas i Appendix I. Dock väldigt subtilt så, varför det approximativt utan vidare kan antas.

 

För att relatera 0* till 0 antas:

 

’0*=x.

 

p/dp=1/’ och 0*/x=1/’, så p/dp=0*/x, eller:

 

p=dp0*/x.

 

Vilket om x=0* ger att p=dp, en kontradiktion. Om x=dp, att p=0*, också en kontradiktion. x kan principiellt inte vara mindre 0*, och om x>dp är p<0*, vilket inte heller kan gälla, så återstår gör endast att x=p och att p=dp0*/p:

 

p=’0*=0*/0.

 

0 kan principiellt inte vara mindre än 0*, och inte heller större än 0*, eftersom det betyder att 0>E(=0*):

 

0=0*.

 

Vilket särskilt principiellt betyder att p=1(=0*/0). Hur ska det tolkas? Rättfram förstås, att punkter är (det naturliga) talet 1. Eller annorlunda definierat kan E, givet t2, definieras bestå av ’ antal minsta volymer v:

 

E=’v; v=min(p,dp); pÏdp:

 

mE=’e; Fp, e=mv:

 

m=’e/E.

 

m vilket alltså per definition ovan är ett finit naturligt tal.

 

Om det antas att e/E=0, eller ekvivalent att m/’=0, så följer att:

 

m=’0=p; m/’=0.

 

Om inte, så definierar m/’=e/E något mellan 0 och gränsvärdet 1=p(=E/E; e=E):

 

0m/’<p.

 

Men vad skulle det vara? Det är i så fall frågan om något rent abstrakt. För principiellt egenskapsmässigt existerar ingenting mellan 0(=0*) och p, i enlighet med vilket det rationellt kan antas att m/’=0:

 

t6) m=p=’0; m/’=0=0*; T1.

 

Det viktigaste i t6 är att finita naturliga tal är punkter, vilket lägger en mer fast, intuitiv grund för matematiken. Åtminstone vad gäller den grundläggande aritmetiska definitionen. t6 gör den så att säga mer påtaglig, hanterbar. Även om värdet av detta inte ska överdrivas. Eftersom t6 är framlett utifrån det kontradiktoriska t3. Vilket alltså definierar att punkter, kontradiktoriskt, på en och samma gång inkluderar och exkluderar sig själva, definierade som ingående i sträckor/distanser, mängder. Alltså mängdteoretiskt, vilket förövrigt gäller för alla e:

 

En mängd i vilken e och e’ ingår definieras i analogi med ovan:

 

M[e,e’].

 

e och e’ exkluderas, vilket definierar:

 

M(e,e’)=M[e,e’]-e-e’.