x=nx’; Up’’ (vilket kan nyttjas som utgångspunkt för vidare matematisk definition).

 

Na-logiken, vars huvudaxiom, nämligen (ganska självklart) Na, analyseras nedan, har en princip den kallar Motsägelselagen (vilken i pri-ncip är en direkt följd av Na, eller faktiskt är ett med Na dualt antagande, se vidare det kommande), vilken definieras (här med + istället för det vanliga Ù): (x+y)’, vilken på mx-nivå definierar att (mx+mx’)’, vilket förstås allmänt är falskt: mx(p)+mx(p’)’ kan mycket väl gäl-la, ja, är det normala, mx(p)+mx(p)’ kan (superpositionellt) dessutom också gälla (då definierande Smx), så Motsägelselagen är fundal-logiskt följaktligen en alldeles för grovhuggen princip. Fundallogiskt är det Kp(/Ip/Up) som gäller, detta i någon mån motsvarande den grovhuggna Motsägelselagen.

 

Så kallad klassisk logik antar följande princip, kallad Negationen, generellt giltig:

 

Na) x « y.

 

Alltså att (de unika) x och y definierar en (tvåställig, binär) ekvivalens.* Kan detta E-teoretiskt gälla? Ja, på lång sikt gäller särskilt:

 

v « x; v=volym (i E).

 

Alltså att x uppkommer och fullbordas, v som för enkelhetens/analysens skull kan definieras 0:**

 

0 « x

 

Och det finns kanske {mx} vilka kan ”återuppstå”:

 

{mx} « {mx}’.

 

Även om den sannolikheten inte är stor om {mx} är stort, för ett mx är sannolikheten större:

 

mx « mx.

 

Om än även den väldigt liten, principiellt faktiskt obefintlig, utan att gå vidare in på det, eftersom det handlar om rent abstrakt p-analys, vilken åtminstone i kontexten inte tillför något, strikt givet att mx måste existera i samma position (mx(p) « mx(p’)).

 

Ja, det kan för mer avancerade x(>x*), bestående av tillräckligt många mx, utan vidare konstateras att:

 

x « y; 0<x,y>x*, aldrig är giltig:

 

Na är (kategoriskt) ogiltig; 0<x,y>x*.

 

Detta undantaget att x « y ses gälla momentant, i meningen att x och y ömsesidigt påverkar varandra, och båda existerar. Vilket E-teo-retiskt kan gälla både genom (mx-)attraktionen (mx (tillräckligt nära varandra) påverkar ömsesidigt varandra, genom (mx-)attraktionen) och genom stötar (mx i x stöter till mx i y och vice versa, en ömsesidigt (mx-)stötpåverkan).

 

En invändning mot detta kan vara att Na är definierad för satser(/propositioner), att det för dessa satser är evident att Na håller. Nej, det finns inte något sådant givet förhållande mellan olika (satser) x, vilka satser (x) det än handlar om, att särskilt icke-x(=x’,y(x)) direkt (explicit, platonistiskt) är utpekat(/definierat (utan definition)), utan icke-x har att definieras (givetvis av en mänsklig definierare, givet mänsklig analys/definition) precis som alla andra x, se vidare påföljande fotnot.

 

__________

* Om x, så y, om y, så x, ”negationen” till x är y: x’=y, och omvänt ”negationen” till y är x: y’=x, vilket direkt definierar ”Dubbla nega-tionens lag” (x’’=x):

 

(x « y)(=Na) ® (y’ « x’); x’=y, y’=x, ® y’’=y, x’’=x.

 

Na definierar vidare direkt ”Lagen om det uteslutna tredje” (x Ú y), givet ”Motsägelselagen” ((x Ù y)’):

 

(x « y) ® (x Ú y)(/(y Ú x)); (x Ù y)’ (® (x Ú y)=(y Ú x) (symmetri, ”Permutationsprincipen” eller ”Eller-kommutativitet”)).

 

Na definierar vidare direkt regler som: x=(y ® x), vilken direkt följer av Na: Om x, så måste simpliciter y ® x, precis som x ® y eller x « y (superpositionellt, med =),^ gälla, alltså givet Na.

 

Eller än vidare följande Dp-formel, givet Up’:

 

(x « y) ® (x ® y)=(x ® y):

 

(x ® (y ® y))=((x ® y) ® (x ® y)):

 

(x ® (y ® z))=((x ® y) ® (x ® z)); z=y; Na ((x « y) ® z=y; x, z=x; y, eller (rekonstaterat): (x « y) ® (alla) x’=y, (alla) y’=x).

 

Eller följande Lp-formel:

 

(x ® y)=(x ® y):

 

(x ® y)=((x ® y) ® y)=((x ® y) ® (y ® y)):

 

(x ® y)=((x ® z) ® (y ® z)); z=y; Na.

 

Särskilt givet Lagen om det uteslutna tredje i det föregående, så gäller särskilt tre formler (uttryckligt) viktiga i Na-logik:

 

x=(x Ú y) (kallas Eller-introducering eller Additionsprincipen (”Principle of (logical) Addition”)).

 

(x Ú y)=(y Ú x) ® (x Ú (y Ú y))=(y Ú (x Ú y)):

 

(x Ú (y Ú z))=(y Ú (x Ú z)) (associativ princip” (”Associativ Principle”)).

 

y=(x Ú y) ® (y ® y)=((x Ú y) ® (x Ú y)):

 

(y ® z)=((x Ú y) ® (x Ú z)) (också en Lp-formel (”Principle of (logical) Summation” (konstigt namn))).

 

Ja, så där kan det fortsätta. Na-logiken är på det sättet fascinerande, att närmast allt ligger i Na, äger sin grund i Na, vilket kan hävdas för-klara dess popularitet. För den mindre reflekterande kan Na-logiken rentav framstå som objektiv/absolut, som att den uppdagar absoluta sanningar, vilket förklarar dess epitet platonistisk. Det enda ytterligare fundamentala, utöver Na (och Motsägelselagen, se vidare det kom-mande), som behöver antas för att Na-logiskt komma långt, är antagandet av (giltigheten av) tautologier, i enlighet med Up’, vilka Na-lo-giken också antar giltigheten av, och helt enkelt kallar tautologier (Tautologiprincipen).

 

”Transpositionen” kan också nämnas:

 

(x ® y)=(x ® y):

 

(x ® y)=(y’ ® x’).

 

En annan formulering som kan hittas i litteraturen är:

 

(x’ ® y’)=((x’ ® x’) ® x):

 

(x’ ® y’)=((x’ ® y) ® x).

 

Vilken ses som oerhört fundamental i Na-logik, och förstås är betingad/bestämd av Na, och som synes är en trivial tautologi. Tolkas detta (Transpositionen) fundallogiskt, så kan y’(x) mycket väl implicera x, såväl som ett antal x’(y’), men Na-logiken definierar alltså (det binära) att x « y, att x’=y och y’=x och det (binärt, väldigt inskränkt) allena, medan x’ precis som y’ fundallogiskt på förhand inte alls är (binärt) unikt specificerade på det sättet, utan x’ respektive y’ kan i princip vara alla x vilka inte är x respektive y, medan x’ respektive y’ då Na-logiskt definierar ett unikt (specificerat, ja, (platonistiskt) de facto givet) x’=y respektive y’=x.

 

Avslutningsvis kan även ”De Morgans lagar” nämnas:

 

(x’ Ú y’)=(y Ú x)=(x Ù y)’:

 

(x’ Ú y’)=(x Ù y)’.

 

(x’ Ù y’)=(y Ù x)=(x Ú y)’:

 

(x’ Ù y’)=(x Ú y)’.

 

Där den andra ”lagen” strider mot Motsägelselagen, alltså att x och y inte gäller, vilket den andra ”lagen” då definierar inte gälla, utan al-ltså att x och y gäller (eller då y och x, vilket Na-logik inte gör någon distinktion emellan ((x Ù y)=(y Ù x) Na-logiskt (”Och-kommutati-vitet”))).^^ Förstås inte bra; Ska det hela vara ”logiskt”, så måste den andra ”lagen” förkastas.

 

Motsägelselagen gäller för x och y i Na-relationen, och utesluter med det inte Ù-relationer mellan x och y (med varandra) inte ingående i Na-relationer, x « z och y « å kan till exempel (antas) gälla, i vilket fall x Ù y kan (antas) gälla, icke-superpositionellt, så att säga vid sidan av varandra. Om x och y existerar superpositionellt, så strider det mot Motsägelselagens anda, att x och y (i Na-relationen) inte (su-perpositionellt) existerar på en och samma gång. Ja, Na-antagandet/axiomet definierar faktiskt detta per se, utan antagande av Motsägel-selagen, för intentionen (andemeningen) med Na är att antingen gäller x, eller så y, en intention vilken Motsägelselagen specificerar. Motsägelselagen har med detta en tendens att tolkas generellt, för alla x, i superpositionell mening (att x och y inte kan gälla på en och samma gång), utifrån det initiala att endast gälla för x och y ingående i en Na-relation; Även Tautologiprincipen kan hävdas direkt defini-eras av Na: Ett x står i relation till ett y, vilket Tautologiprincipen då specificerar (motsvarande Up’).

 

Till sist kan Kurt Gödels Na-logiska metalogiska ofullständighetsteorem (1931) nämnas, vilka mest fundamentalt definierar att en teori X kan äga x (xÎX) vilka X inte kan framleda. Antag detta, alltså att X inte behöver kunna framleda alla (icke-axiomatiska) x vilka tillhör X. Vad är det då som definierar x? Ja, om X varken axiomatiskt eller framlett definierar x, så måste det antingen vara X per se (som kluster av satser) som definierar x, eller så tillförs x ad hoc till X (närmast förstås av definieraren av X). Det senare uteslutet, så handlar det så-lunda simpliciter om holism, x=+q, i strid mot Up’’ (allt ”vetenskapligt” ”märkvärdigt” kan hävdas härröra ur icke-antagande av Up’’):

 

Oavgörbara x (som det kallas) är holistiskt antaget existerande xÎX (i strid mot Up’’).

 

Antas Lp, så kan följande framledas:

 

x*|xÏX per framledning, utifrån xÎX, men x*ÎX likafullt (per gödelsk ofullständighet):

 

x*|x+x+x’ÏX+x+x’; Lp, X=x*+x+x’:

 

XÏX; Up’:

 

FT) x*|xÎX; Kp.

 

FT är ett fullständighetsteorem, vilket simpliciter definierar att alla xÎX antingen är axiom, eller (ytterst från axiom) framledda x (ratio-nellt måste vara det). Lp är generellt då inte en giltig princip, men i kontexten handlar det om teori, alltså om ren abstraktion, och rent abstrakt är det blott att anta Lp giltig, så är den giltig. Och att Na-logik antar Lp giltig i kontextuell mening är också ett argument för gil-tigheten av FT (varför skulle fundallogiken (kontextuellt) inte få kunna anta Lp om nu Na-logiken får det).

 

Tänjande av Na ger direkt vid handen att oavgörbara x existerar, Na-logiskt, för definieras x=[avgörbart x], så följer direkt givet Na i Na:s andemening att y=[oavgörbart x], vilket förstås blir ogiltigt givet ett icke-antagande av Na.

 

Na-logik antar även ”Fixpunktssatsen” (eller ”Diagonal lemmat”), vilken givet Na definieras om logisk atomism antas, att alla (Na-logis-ka) x i grunden är ”sprungna” ur samma logiska (unika) beståndsdel, säg x:

 

x « y(x).

 

I vilket fall högerimplikationen definierar att x är en funktion av sig självt, vilket ekvivalent kan skrivas x=¦(x), vilket definierar existens av superklonade x i enlighet med fotnot *** i avsnittet: Elementära principer, i strid mot Up’ (¦(x)=x).

 

Fixpunktssatsen definierar direkt det essentiella i Gödels ofullständighetsteorem, men Gödel definierar lite vidare, utifrån ett antagande av Fixpunktssatsen, så det räcker att vederlägga Fixpunktssatsen för att vederlägga Gödels ofullständighetsaxiom, eller mer fundamentalt räcker det givetvis med att vederlägga Na, grunden för Fixpunktssatsen, vilket ovan sålunda är gjort; Logisk atomism i föregående (su-perklon)mening att alla x ”springer” ur ett (unikt) ”ur-x” är givetvis i enlighet med E-teorin inte rationellt. Men om de logiska bestånds-delarna antas motsvaras av mx, så är det givetvis E-teoretiskt rationellt, i vilket fall ”Fixpunktssatsen” definierar: