Lite relatering till den konventionella logiken

 

”Bevis”, handlar i enlighet med det föregående mycket om att utesluta kontradiktoriska x, x vilka strider mot (primära) x (kategoriskt) tillhöriga X.

 

En kontradiktion (givet Up) utesluter endast det kontradiktoriska x, säger allmänt inget om vilket x=x’ vilket eventuellt gäller istället, eftersom rekonstaterat (IV) följande gäller:

 

I) x’=E-x.

 

Vilket allmänt definierar en jättelik mängd av x. Ta till exempel ett x=träd. Icke-träd=x’ är till exempel stenen vid sidan av trädet, bilen som kör där borta, ego som sitter vid datorn, Up, etcetera, etcetera.

 

Utan denna mängd: x’, måste följaktligen definitionsmässigt snävas in, för att det ska finnas någon som helst möjlighet att mer direkt kunna hitta något specifikt x’ som ”alternativ” till x. Vilket allmänt kan göras på mängder av sätt. Enklast är förstås att blott definiera något, till exempel icke-träd=Up. Mer seriöst handlar det om att snäva in kontexten. Definiera, så att x’ är ett rationellt alternativ, till ett givet x.

 

I Principia Mathematica, av Russell och Whitehead (1910-1913, reviderad 1927) finns ett axiom: *1.7, vilket lyder: ”If p is an elementary proposition, p’ is an elementary proposition”. Vilket givet Up kan tolkas som en kontradiktion: Om x så x’(=icke-x)? Eller: Om x är en sann proposition (ett i X antaget giltigt x), vad finns det då för mening med att tala om propositionen x’, vilken givet Up måste vara falsk (givet att x är sann)? Tolkningar Barker-Plummer, Barwise och Etchemendy i Language Proof and Logic (andra utgåvan (2011)) undviker genom att definiera följande (s. 68): ”Given any sentence P of FOL (atomic or complex), there is another sentence  ¬P. This sentence is true if and only if P is false.” (¬P=P’).

 

Ett generellt antagande vilket hursomhelst allmänt står i strid mot I. Det är ontologiskt obegripligt, som generellt antagande:*

 

Det definierar den generella (kategoriska) existensen av x transcenderande ”spök/skugg-x”: x’. Alltså utan att dessa x’ mer specifikt behöver definieras. Vilket är K. Gödels ofullständighetsaxiom (1931) i ett nötskal,** vilket implicit redan berörts, och förkastats som möjlighet i enlighet med T0, nämligen då att det skulle existera (sanna) x’ÎX vilka inte är axiom i X, och vilka inte heller är en (logisk) följd av xÎX (x ’ kan varken framledas från x, eller härledas tillbaka till x; x’ är inte heller motbevisbara i X, se vidare fotnot ***), utan x’ tillhör simpliciter (sant) X. x’ är sanna per se, som det kan uttryckas, även om det brukar läggas till att x’ ska kunna uttryckas i X (teoretiska) språk. Vilket x’ givetvis gör, enär x’ är (axiomatiskt) antaget existerande i X, i enlighet med ”*1.7”. Dessa x’ kallas oavgörbara x. Ett ytterligare sanningsvärde, vid sidan av sant och falskt, i konventionell logik.***

 

Men detta är då falskt i enlighet med T0, det finns inga oavgörbara x. Även om analys i vissa fall, i undantagsfall, definitionsmässigt, i enlighet med ”*1.7”, självklart kan inskränka sig, inskränka sin domän, på så sätt att endast två alternativ: x och x’, föreligger (där x’ (per definition) är sant om x är falskt, eller vice versa). Såsom till exempel i ovanstående exempel: x=träd, x’=Up, ett annat exempel är om = eller är de två alternativen.****

 

__________

* De vilka definierade ”*1.7” måste på något sätt ha börjat i fel ände, redan från början språkligt begränsat sig, förutsatt någon språklig domän, i vilken ”*1.7” enligt dem gäller, vilken den nu kan vara. Det finns förstås kontexter i vilka icke-x leder tanken mot något mer bestämt. Icke-Intet till exempel, det leder tanken till att åtminstone något existerar (givet Ip). Icke-inne, ja, då är det naturligt att det menas ”ute”. Men generellt? Det är platt att förutsätta alldeles för mycket.

 

** Se till exempel: Kennedy, Juliette, "Kurt Gödel", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2016 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = <https://plato.stanford.edu/archives/win2016/entries/goedel/>.

 

*** Gödels ofullständighetsteorem är holistiskt:

 

X=X+x’.

 

Där x’ definierar oavgörbara x. Alltså x vilka X inte kan bevisa tillhöra X (x’ kan inte framledas från xÎX, och x kan inte heller härledas tillbaka till xÎX). Och x vilka inte heller axiomatiskt tillhör X. X kan heller inte motbevisa x, genom att anta x sant i X, och se om det leder till en kontradiktion. Men x’ antas då likafullt tillhöra X:

 

X=X+x’; x’|[x’=[axiomatiskt/bevisat x]]ÏX, x’ÎX.

 

Up’ står med detta så att säga och stampar. Up’ vill så att säga, för konsistens, både assimilera och inte assimilera (unifiera) det holistiska x’ med X, x’ svävar så att säga eteriskt fritt från X, som inte axiomatiskt antaget i X, som inte bevisbart/motbevisbart av X.

 

Men, lite mer rigorös analys kan sålunda visa att detta är kontradiktoriskt (T0).

 

**** ”Lagen om det uteslutna tredje” är en evident implikation av, närmast ekvivalent med ”*1.7”. Vilken då givetvis inte heller gäller generellt sett i E-teorin.

 

 

Lite praktisk E-logik

 

Detta har redan berörts, men lite mer rigoröst: Ibland kan x=x* vilja testas i X, utan att x* direkt bevisas: x* antingen framleds utifrån xÎX, eller xÎX härleds utifrån x*; grunderna för x* konstateras tillhöra X, med vilket också x* tillhör X. I vilket fall x* (hypotetiskt) kan antas vara sant i X, och sedan en bevisföring utföras utifrån x*, med hjälp av xÎX, vilken om den utfaller i en kontradiktion, i ett kontradiktoriskt x, utesluter x* som sant i X, eftersom inga kontradiktoriska x, får förekomma i X i enlighet med Up. X vilket (vilka) följaktligen endast består av icke-kontradiktoriska=konsistenta x, både vad gäller premisser (per se) och slutsatser (i enlighet med Up).

 

Om någon kontradiktion inte uppkommer i ett motbevis, så ligger det nära till hands att förmoda att x* är sant i X, vilket i enlighet med T0 dock måste (direkt) bevisas, eller så får x* antas som axiom i X (om det inte förkastas). Givetvis under villkor av att x* per se är icke-kontradiktoriskt, något som givetvis måste gälla för alla axiom (i enlighet med Up), vilket inte alltid är helt enkelt att se, särskilt förstås om axiomet är komplicerat i sin definition. Vilket, helt allmänt, talar för korta och okomplicerade axiom, lätta att kontrollera mot Up.

 

Konventionellt görs av någon anledning inte distinktion mellan framledning och härledning, utan båda fenomenen kallas härledning(/deduktion). Kanske är det en följd av det hypotetiska tänkandet: Att hypoteser ställs upp, och grunderna för dessa sedan sökes/härleds, eller mer allmänt logiska konsekvenser av hypotesen, givet de slutledningsregler vilka är antagna, härleds(=härleds/framleds). Och ibland kan det kanske vara svårt att avgöra om det är frågan om en ”härledning” x, tillbaka till mer grundläggande x, utifrån ”mindre” grundläggande x’, eller då en ”framledning” x’, implikationer x’ utifrån (konsekvenser x’ av) mer grundläggande x. Varför det är enklast att säga härledning i allmän mening, sålunda utan att mer specifikt avgöra om det verkligen är frågan om en härledning, eller en framledning Mindre vanligt är hursomhelst att grunderna är det första vilket sätts upp, definieras, med vilket vidare analys givetvis endast är frågan framledning; de implikationer vilka följer på dessa grunder är framledningar.

 

Många gånger förutsätts till exempel konventionell logik, eller matematik, dessa analysverktyg definieras inte om inför varje ny analys. Utan analysen hoppar så att säga rätt in i, eller mitt in i analysen, den hoppar över början. Definierar kanske endast: I denna analys förutsätts konventionell matematik vara giltig. 

 

Vad gäller Up, så utesluter den då strikt hävdad all form av analys, allt definierande av X. För att rekapitulera, så är följande principer giltiga i E-teorin:

 

Up (Unicitetsprincipen).

 

På Up följer direkt dessa principer (som korollarier):

 

Ip (Identitetsprincipen); Up.

 

Kp (Kontradiktionsprincipen); Up.

 

Up’ (Unifieringsprincipen); Up.

 

Vidare antas:

 

Inp (Intensionsprincipen).

 

Inp är antagen för analytisk möjlighet; Inp står strikt i strid mot Up; Up är en princip att förhålla sig till, relatera till (tankemässigt): Strikt antagen, utesluter Up möjligheten av all analys vilken går utöver konstaterandet att alla fenomen är unika (Up). Analys vilken särskilt definierar identitet mellan fenomen (x), till exempel i en definition som y=A. Denna definition står sålunda strikt i strid mot Up; ”A” och ”y” existerar Up-principiellt var för sig, som unika entiteter, och kan endast (i strid mot Up) definieras äga någon form av ”relation”.

 

Detta att Up är en princip att förhålla sig till, är den existentiella grund vilken all analys har att förhålla sig till, är ett oerhört tankehjälpmedel. Vilket förstås är falskt om det kan existera kontradiktioner. Eller om det inte kan göra det, och analysen ända antar kontradiktioner (vilket särskilt kommer att göras i det vidare, nödvändigtvis så, för att komma vidare med analysen), vad säger då denna (kontradiktoriska) analys? Ja, i enlighet med Up ingenting, den är platt falsk. Ett oerhört dilemma, att följaktligen endast kunna hoppas en analys (möjligen) vara sann. Men, det är inte mycket att göra åt, alternativet att anta Up inte vara giltig strider mot all rationalitet. Det enda att göra är att öppet redovisa kontradiktionerna, så får en läsare avgöra om hon vill godta dem eller inte. Och nog kan det hävdas vara intuitivt att människan endast antar saker om verkligheten, aldrig riktigt vet (äger kategorisk kunskap).

 

Givet Inp och Up (med korollarier) kan följande principer bevisas:

 

Fp (Förhållandeprincipen).

 

Dp (Distributiv princip).

 

IEp (Icke/Exklusive-principen).

 

Dl (Dl’) (Dubbla negationens princip).

 

Och särskilt måste även det oerhört fundamentala teoremet T1 nämnas (Intet existerar inte).

 

Dessa är verkligen primära x. Men det går ontologiskt inte att komma så väldigt långt, endast med dessa principer, i princip går det endast att sluta sig till t2 och t2’. Även om det kan hävdas vara långt nog, alltså ett bevis av att Världen (E) är ett gränslöst ”rum”, i vilket allt mer specifikt (e) är (i alla riktningar) begränsade fenomen. Tolkas detta blott rumsligt, så föreligger inga problem, däremot blir det genast problematiskt, om det hela ses tidsligt, vilket kommer att återkommas till i avsnittet: Empiriska fenomen.