Appendix II

Negationen och lite utvecklat från den

 

Den logik som huvudanalysen definierar avviker diametralt från konventionell logik, så det kan vara värt att även titta lite på den:

 

I enlighet med avsnittet: 0 och indirekt bevis av T1, är x’=y alla x=y vilka inte är x:

 

y=E-x (y+x=E):

 

x=(/Û)y; y=E-x.

 

Allmänt kan dock y=x’(=icke-x) logiskt(/rationellt) vara vilket yÎE som helst.

 

Så kallad Klassisk logik definierar dock oerhört specifikt:

 

N) x=(/Û)y; yÎE:

 

x’=y, y’=x (se vidare nedan).

 

Vilket simpliciter är ologiskt. Mer rigoröst kan särskilt y, i enlighet med FT, endast framledas eller (axiomatiskt) antas, x per se kan (su-perpositionellt, holistiskt, ”platonistiskt”) inte definiera y (och vice versa), vilket betyder att N inte kategoriskt kan användas/nyttjas i an-alys/logik. N definierar en oavgörbar relation, i strid mot FT, genom att superpositionellt definiera särskilt y, alltså y varken är framlett eller (axiomatiskt) antaget, utan då är superpositionellt, platonistiskt, holistiskt givet (i strid mot FT).

 

Så kallad Intuitionistisk logik definierar lite svagare, men fortsatt väldigt (platonistiskt) specifikt:

 

N’) x=(/Þ)y; yÎE:

 

x’=y, y’=?.

 

Även Klassisk logik brukar definiera ”Negationen” som N’, mer uttryckligt brukar Klassisk logik statuera: Om x är en proposition (defi-nierande ett sakförhållande x), så är även y(=x’) det (y således också definierande ett sakförhållande, nämligen då y(x)) (1.7 i ”Princi-pia M..” till exempel). Detta Klassiskt logiskt underförstått i meningen N, vilket Klassisk logik ofta gör explicit genom ”axiomatiskt” till-ägg av x=(y ® x); I ”Principia M..” ligger detta senare implicit i 1.3: y ® (x Ú y) (”Eller-introducering” eller Principle of addition som ”Principia M..” kallar det), vilket ekvivalent kan skrivas: (y ® x) Ú (y ® y)(=y; Tp, se vidare nedan), där vänsterledet då definierar det efterfrågade, vilket tillsammans med 1.7, som likaväl kan skriva x ® y, definierar N, mer rigoröst definierar det att x « y, vilket N-lo-giken dock menar i superpositionell (kategorisk, holistiskt, platonistisk) mening; y följer direkt/omedelbart på x, och vice versa, utan att något som helst behöver antas, definieras eller framledas, det blott bara är så.

 

Eller för att mer allmänt ta implikationen av särskilt N, att det i varje fråga/problemställning endast står mellan två alternativ, nämligen då x eller y, vilket förstås betyder att om x är falskt (i frågan i fråga) är y sant, och om y är falskt, är x sant.

 

I hur många frågor står det mellan endast två alternativ, är ett y det enda alternativet till x, i meningen att y kan ersätta x, ”utföra” x, om x inte kan ”utföra” x, x är falskt, vilket då i enlighet med denna syn betyder att det allena y (i N/N’) är sant som alternativ till x? Allmänt, om x är falskt, så behöver det överhuvudtaget inte existera något y som kan ersätta, ”utföra” x. Eller så kan det finns många y som kan er-sätta x, kanske alla y. Men nejdå, enligt N/N’-logiken finns det endast ett y som kan ersätta x, och det alltid (N’-logiskt kan det allena y alltid ersätta x, men det är inte säkert att x kan ersätta y, N-logiskt kan det allena y alltid ersätta x, och det allena x alltid ersätta y), vilket simpliciter är absurt.

 

Så särskilt N, att x/y (superpositionellt) identiskt är y/x,* gäller då inte. Men N har då ändå antagits, Klassiskt logiskt, varför det kan vara på sin plats med lite Klassisk logik-definition (Intuitionistisk logik kan definieras på samma sätt, men definierar givetvis mer inskränkt, eftersom implikationen då endast går åt ett håll), för upplysnings skull (vilket per se visar på hur absurd N-logiken är):

 

Närmast implicit i N, Negationen, ligger att (de sålunda partikulära, holistiskt (kategoriskt) bestämda) x och y (i N) inte kan gälla på en och samma gång, vilket definierar den så kallade Motsägelselagen (givet N):

 

Ml) (x Ù y)’ eller (y Ù x)’ (det är likgiltigt, så (x Ù y)’=(/Û)(y Ù x)’).

 

Ett vanligt alternativ tecken för ’ (”icke”) är Ø (Øx, då istället för x’ (”icke-x”)).

 

Vilket ekvivalent definierar Lagen om det uteslutna tredje (givet N), antingen gäller x eller så y:

 

LoT) (x Ú y)=(/Û)(y Ú x).

 

Ml och LoT kan generaliserat skrivas:

 

Gp) (x Ú y)=(/Û)(x Ù y)’.

 

Givet Gp och N gäller:

 

I) x’=y, y’=x.

 

x negerat (x negation) är y (”icke-x” är y), och y negerat (y:s negation) är x (”icke-y” är x).

 

I alla frågor väger den Klassiska logiken sålunda (oerhört inskränkt) endast mellan två alternativ, nämligen då x eller y (definierat av N och Gp). Inga andra variabler (av första ordningen) är av intresse. Vilket betyder att om någon annan variabel z (av första ordningen) är definierad, så är den identiskt (antingen) x eller y. z tolkad som något annat än x eller y, är sålunda en chimär. Vilket inte hindrar den Klassiska logiken från att ändå definiera formler med z. Med vilket dessa formler förstås mest är en illusion, se vidare det kommande.

 

Ytterligare en grundläggande princip den Klassiska logiken antar är Tautologiprincipen:

 

Tp) ¦(x)=x.

 

Vilken antas vara symmetriskt giltig, att till exempel både (x Ú x)=x och x=(x Ú x) är giltig definition.

 

Givet det föregående, särskilt I, är det sedan bara att definiera på, ett antal exempel:

 

Substituera in I i N ger:

 

y’=x’:

 

y’’=x’, x’’=y’; Gp:

 

y’’=y, x’’=x; I.

 

Dubbla negationens lag, vilken givet N och Gp även syns direkt: Till exempel är då y’=x och y=x’, vilket direkt (det senare insubstituerat i det förra) ger att x’’=x (negeras x definieras y, och negeras y, för det tillbaka till x, trivialt i enlighet med N, givet Gp).

 

Givet N, så gäller direkt/identiskt allt vilket (underordnat) gäller i enlighet med N:

 

N=(x ® y),(y ® x),x,y.

 

Där särskilt x=(y ® x) – N=(y ® x) och N=x, så x=(y ® x), eller: Om x(=x,y,(x ® y),(y ® x)), så N, givet N: x=N=(x ® y),(y ® x),x,y – konventionellt brukar framhävas, som axiom faktiskt, vilket det då inte är, utan ett teorem, vilket givet I ekvivalent till exempel kan skrivas:

 

y’=(y ® x).

 

Till exempel x=y är ekvivalent x ® y eller x « y (en =(/Þ/Û)-relation förändras inte av att den definieras svagare med ®(/¬)/«), det senare eftersom då implikationen går i bägge riktningarna i enlighet med N (eller mer rigoröst: N=x och N=y, så y=x och x=y), vilket till exempel ger/definierar givet Tp och I:

 

(x ® x)=(y ® y) :

 

(x ® y’)=(y ® x’).

 

(y’ ® x)=(x’ ® y).

 

Eller tag följande givet det föregående:

 

(y ® x)=(y ® x) (om (y ® x), så N, givet N: (y ® x)=N=(y ® x) (vilket självklart gäller symmetriskt)):

 

(x’ ® y’)=(y ® x).

 

((y ® x)=(x’ ® y’).)

 

Vilket definierar den så kallade Transpositionen.

 

Eller:

 

y=y:

 

y=(y ® (y ® y)):

 

y=(x’ ® (y ® x)’).

 

Eller:

 

(y ® x)=(x ® y) (N=(x ® y) och N=(y ® x)):

 

(y ® x)=((x ® x) ® y):

 

(y ® x)=((y’ ® x) ® y).

 

Eller:

 

y=(y ® x):

 

(y ® y)=((y ® x) ® x):

 

(y ® x’)=((y ® x) ® y’).

 

Eller:

 

(y ® x)=x:

 

(y ® x)=y’:

 

(y ® x)=(y Ù y)’:

 

(y ® x)=(y Ù x’)’.

 

Eller:

 

y=y:

 

x’=(y Ù x’):

 

(y ® x)’=(y Ù x’); x=(y ® x).

 

Eller:

 

(y ® x)=x:

 

(y ® x)=(y’ Ú x).

 

För att särskilt ta några formler vilka konventionellt brukar (falskt) kallas axiom:

 

x=(x Ú y) (”Eller-introducering”).

 

Om x, så gäller simpliciter detta givet LoT (precis som x=(y ® x) gäller givet N).

 

Givet LoT gäller:

 

(x Ú y)=(y Ú x):

 

(x Ú (y Ú y))=(y Ú (x Ú y)); x=(x Ú y):

 

(x Ú (y Ú z))=(y Ú (x Ú z)); z=y (z som alltså måste vara antingen x eller y givet N (och Gp)).

 

Givet LoT gäller:

 

y=(x Ú y):

 

(y ® y)=((x Ú y) ® (x Ú y))(; Tp):

 

(y ® z)=((x Ú y) ® (x Ú z)); z=y.

 

Genom att definiera ”axiom” med z, förespeglas att x, y och z alla är olika, vilket de då inte är, givet N och Gp, som då definierar att z an-tingen är x eller y. Ja, hela den Klassiska logiken präglas av denna illusion att det kan handla om fler variabler (av första ordningen) än x och y, vilket då förstås bara en illusorisk överbyggnad, övertolkning.

 

Transpositionen igen (ett teorem, ses konventionellt som ett mellanting mellan axiom och teorem):

 

(y ® x)=(x’ ® y’):

 

(x’ ® y’)=((x’ ® x’) ® x):

 

(x’ ® y’)=((x’ ® y) ® x).

 

Gp givet I definierar:

 

(y’ Ú x’)=(x Ù y)’.

 

Vilket kallas De Morgans första lag (ses konventionellt som ett teorem, vilket det också är, även om Gp och I då närmast ligger implicit i N, kan ses som axiomatiskt assimilerat med N, med vilken denna ”lag” kan ses som en axiomatisk variation av N, precis som allt övrigt föregående, vilket inte nyttjar Tp).

 

Den andra De Morgan lagen (ses konventionellt också som ett teorem):

 

(x’ Ù y’)=(x Ú y)’.

 

Vilket givet I då är ekvivalent med (y Ù x)=(x Ú y)’, vilket allmänt intuitivt gäller, dock inte i enlighet med Gp, så här har den Klassiska logiken ett stort problem, utan att gå vidare in på det.

 

Avslutningsvis några ytterligare formler (teorem):

 

(x ® y)=(x ® y):

 

(x ® (y ® y))=((x ® y) ® (x ® y)):

 

(x ® (y ® z))=((x ® y) ® (x ® z)); z=y.    

 

N=(x ® y), N=[y=(x ® y)] ® N=(y ® (x ® y)), så:

 

(x ® y)=(y ® (x ® y)):

 

(x ® (y ® y))=(y ® (x ® y)):

 

(x ® (y ® z))=(y ® (x ® z)); z=y.

 

x=y:

 

(x ® x)=(y ® x); y=(y ® x):

 

(x ® z)=(y ® z); x=z.

 

Så där kan det fortsätta, faktiskt i all oändlighet givet Tp.

 

__________

* Att x (superpositionellt) identiskt är y (x=(/Þ)y) implicerar inte direkt att y (superpositionellt) identiskt är x (y=(/Þ)x), vilket tvärtom kan tyckas intuitivt, och om så gäller direkt definierar N, direkt gör N’ falskt som grundläggande axiom. Nej, om så är fallet, symmetri gäller, måste (rekonstaterat) analyseras fram (eller axiomatiskt antas). Tag till exempel x=(y ® x) (1) och (y ® x)=x (2). Om 1 gäller som regel (”lag”), så behöver inte 2 gälla, vara giltigt, eftersom y rent allmänt inte behöver föreligga, och regeln y ® x sålunda inte behöver vara uppfylld, med vilket x förstås inte behöver gälla/föreligga/råda. Om 1 däremot antas råda (inte endast föreligger som regel), så gäller även 2, för då råder x, och följaktligen även att y ® x i enlighet med regeln som 1 definierar, och råder y ® x, så råder förstås även x, 2 gäller, är giltigt.