Den aritmetiska grunden

 

Aritmetik kräver allmänt existens av superkloner, med vilket det enklaste och bästa är att räkna med p:n (punkter, icke-utsträckta positio-ner), vilka särskilt är bra på det sättet att de kan ses vara superkloner existerande i samma p (vara superkloner av ett (ur-)p), såväl som ses vara olika p (existerande i olika p), detta med vilket grundläggande följande direkt kan konstateras (givet Up):

 

I) n±m=n±m, där n är n antal p, definierande ett naturligt tal (enligt konventionell (arabisk) definition: 1,2,3,..), och m är m antal p, också definierande ett naturligt tal:

 

p+p+p=3 till exempel.

 

Och förstås:

 

p=1.

 

I definierar per se en Lp-princip, alltså att m kan adderas eller subtraheras från en (p-)identitet, i betydelsen att identiteten består, förstås i meningen att det är lika många p:n på bägge sidor om =:

 

[n±m=n±m]=[n=n] (symmetriskt giltigt).

 

Detta brukar kallas annuleringslag, men är förstås ingen (obevisbar) ”lag” givet det föregående, utan en självklarhet, ett evident faktum (givet Up), givet att det handlar om p:n.

 

Denna ”lag” brukar definieras: [n±o=m±o]=[n=m], men givet att det handlar om p:n, så gäller att m=n (m är ingen implikativ identitet (n=m) som definierar något annat än n, utan m är då n (m=n), detta definitivt om det är frågan om superkloniska p:n, men det gäller även om det handlar om olika p:n, det är lika många p:n på bägge sidor om =, även om det då är frågan om olika p:n, inte superkloniskt iden-tiska p:n), symmetri gäller:

 

n=m; m=n.

 

Och förstås även ”reflexivitet” (givet Up):

 

n=n.

 

Och trivialt gäller även ”transitivitet” (eftersom symmetri gäller, och alltså m,o=n):

 

n=m=o (eller som det brukar skrivas: n=m, m=o ® n=o).

 

”Kommutativitet” kan vidare konstateras gälla vid addition, det är blott att rada upp p:na så ses att det gäller:

 

n+m=m+n.

 

Kommutativitet vid subtraktion gäller inte om [-]≠[+]:

 

n-m≠m-n; m≠n.

 

Men om [-]=[+], så gäller det, vilket det också blott är att rada upp p:na för att se att det gäller; Om m>n i n-m (n exklusive m), så defini-erar antalet p>n ”negativa” p:n, vilket kan definieras med absolutbeloppstecknet:

 

|n-m|=|m-n|.

 

För n-n definieras bäst:

 

n-n=0, -n+n=0, där 0 är idempotent tomrum:

 

0n=0, 0/n=0, n/0=0, n±0=n (för multiplikation och division se vidare nedan).

 

Om n=-n, så:

 

-n--n=0, vilket givet att -n+n=0 ger (givet Up):

 

--n=+n:

 

II) --n=n.

 

”Associativitet” gäller evident också, att additionsordning inte har någon betydelse, det är också bara att rada upp p:na för att se det:

 

(m+n)+o=m+(n+o).

 

Det att p=1 gör det enkelt att definiera multiplikation, genom att samla m grupper av n antal 1:or eller då p:n:

 

n1+n2+n3+..+nm=nm (n m antal gånger).

 

Och ordningen spelar förstås ingen roll, det är återigen endast att rada upp p:na för att se det, vilket definierar ”kommutativitet”:

 

nm=mn (m n antal gånger är identiskt med n m antal gånger).

 

”Annuleringslagen” följer direkt på detta:

 

[on=on]=[n=n].*

 

Och ”associativitet”:

 

(nm)o=n(mo).

 

Vilket direkt kan inses genom att rada upp p:n, men även kan bevisas på detta sätt:

 

Tag nm o gånger:

 

nm1+nm2+..+nmo, vilket givet kommutativiteten är detsamma som att ta o nm gånger:

 

(nm)o=o(nm):

 

(nm)o=on(m); (nm)=n(m):

 

(nm)o=n(om); on=no, o(m)=(om).

 

n(m)=(nm)=nm för tankarna till ”distributiva lagen”:

 

n(m+o)=nm+no.

 

Vilken raskt inses gälla, att q=m+o n antal gånger är detsamma som m n antal gånger och o n antal gånger, just eftersom m+n=q; q n antal gånger är detsamma som varje delmängdÎq n antal gånger.

 

Division:

 

mn=o:

 

n=o/m; n/n=1; n≠0 (o kan uppdelas i n stycken m-delar (o delat med m är n)).**

 

Förvisso givet den distributiva lagen, men eftersom den är evident (lika evident som att till exempel p+p=2), så är följande bevis, givet division, av den ett bevis (givet division, ”annuleringslag” och distributivitet):

 

n(m+o)=nm+no:

 

n(m+o)/n=(nm+no)/n:

 

m+o=m+o.

 

Vilket förstås gäller (givet Up), med vilket den distributiva lagen gäller (alternativt kan det definieras med ≠, och följaktligen en kontra-diktion uppstå i enlighet med Kp (olika är olika i enlighet med Kp, så följaktligen föreligger en kontradiktion om lika definieras vara oli-ka, om m+o≠m+o såsom då i detta fall, vilket förstås också strider mot Ip, såväl som mot Up), vilket definierar att = gäller (något alterna-tiv finns inte i detta fall, gäller inte ≠ så måste simpliciter = gälla, ja, det hela kan förstås vara totalfalskt, varken ≠ eller = gälla, men det är förstås per antagande uteslutet i detta fall. Ett sådant här bevis givet en kontradiktion/motsägelse med ett tydligt alternativ brukar fint kallas reductio ad absurdum; Finns inget tydligt alternativ, så kan förstås inget slutas till utifrån den konstaterade kontradiktionen, annat än förstås särskilt att det som för till kontradiktionen är falskt, givet att den konstaterade p-superpositionaliteten antas vara absurd/falsk)).

 

Mängder definierade på grundval av denna aritmetiska p-bas definieras förstås av p:n:

 

Mängd={p}.

 

Vilket särskilt förstås definierar ”skärning” (S) vara de p vilka olika mängder äger gemensamt:

 

S={p}Îx,y,z,..; x,y,z,.. är mängder (av p:n).

 

xÎy definierar förstås delmängder; xÎx givet Ip, att x=x, i vilket fall x förstås inte är en delmängd (i sig självt, >,<x), utan blott är sig självt ((=)x).

 

Mängdaddition (”union”):

 

x+y-S.

 

Och mängdsubtraktion:

 

x-y:

 

x-y=0; y=x.

 

Vilket helt enkelt definierar p-differensen (skillnaden i antal element=p) mellan x och y, på precis samma sätt som vid ”vanlig” subtrak-tion (n-m).***

 

Det föregående kontra N-logik (Klassisk logik)

 

Det finns likheter mellan N-logikens formelsamling och matematiken definierad enligt ovan, särskilt vad gäller II och Dl, men II följer då utifrån (p-)antagandet att n-n=0 och att -n+n=0, vilket inte definierar (definieras av) N (n=-n=n’, utan givet ”annuleringslagen” definierar det att n=n eller att -n=-n (i enlighet med Up)), som då definierar Dl (Dl följer ur), så det är följaktligen frågan om två helt olika former av logik. Att N-logiken skulle utgöra grund för matematiken (”logicism”) är blott nonsens. Men som sagt det finns likheter mellan form-lerna i dessa olika former av logik, matematikens formler (i enlighet med ovan) bygger dock på evident intuition, N-logikens formler pri-märt på N (och Tp, som matematiken också nyttjar/förutsätter när den förutsätter existens av superkloner). N som överhuvudtaget inte finns i matematiken, att ett matematiskt uttryck (x) implikativt identiskt alltid skulle definiera ett annat matematiskt uttryck y som är sant om x är falskt (och vice versa), det är inget annat än nonsens.

 

__________

* Om symmetri inte gäller kan frågas om denna ”annuleringslag” (Lp-princip) också då gäller? Alltså om [on=om]=[n=m]; mn, ja, i alla fall för siffror kan konstateras, i procentuell mening, men det är förstås svårt att allmänt motivera n=m; mn, men i någon specifik kon-text kan det säkerligen rationellt motiveras, alltså att n implikativt identiskt (implicerar) är m(n).

 

** o, givet naturliga tal, går inte alltid jämnt ut i n stycken m-delar, med vilket vissa kvoter förstås inte är definierade, utan för det måste n=o/m antas definiera ett tal, för alla naturliga tal, vilket (förstås) definierar rationella tal.^

 

*** Konventionellt definieras ytterligare ”axiom”:

 

Extensionalitetsaxiomet ska rationellt (redan antytt) ersättas med Up; Up definierar identiska x (med exakt samma egenskaper) vara ett unikt (ett, och endast ett) x, medan Extensionalitetsaxiomet (superkloniskt) tillåter identiska x att vara olika, mer uttryckligt definierar Extensionalitetsaxiomet att x=y; [{x’}Îx]=[{x’}Îy], vilket rationellt ska tolkas i enlighet med Up, men av många (irrationellt) tolkas som att x och y kan vara olika, önskas det, alltså att olika x kan vara identiska, så bör Extensionalitetsaxiomet justeras till:

 

e’) x=y; [{x’}Îx]=[{x’}Îy]; {x’}x (om {x’}=x, så definierar detta uttryck Up, alltså att x=y=[unikt x]).^^