Vidare antas:

 

M(e,e’)¹M[e,e’]:

 

M(e,e’)+e+e’¹M[e,e’]+e+e’; Fp:

 

M[e,e’]¹M[e,e’]; Up’:

 

t3’) M(e,e’)=M[e,e’]; Up.*

 

Mängdbegreppet per se är med detta kontradiktoriskt; en mängd vilken exkluderar e och e’ är identisk med samma mängd vilken inkluderar e och e’, vilket givetvis beror på Up. Som alltså definierar existensen av unika fenomen, och det allena. Vilket förstås direkt gör alla mängdefinitioner kontradiktoriska/inkonsistenta, rent abstrakta. Vilket också är intuitivt: Mängder är en universale människan definierar, särskilt utifrån de enskilda ting hon upplever existera i en omvärld (empiri). Vilket dock inte ska frånhålla från att definiera mängder, och annan (på p-begreppet grundad) matematik. Den kan vara praktisk, intuitiv. Och med det ge någon slags vägledning. Även om den då är ren abstraktion (kontradiktion) i enlighet med Up. Mer allmänt om detta i nästa avsnitt.

 

—————

* I enlighet med t3’ kan följande definieras:

 

M(M,M’)=M[M,M’].

 

Eller med andra ord att mängden(/klassen) M, vilken inte är medlem(/inkluderad) i sin egen mängd (i sig själv), är medlem i sin egen mängd (i sig själv), vilket är Russells paradox.^ Vilken visade att det inte går att definiera naturliga tal (och 0) med ”klasser”(/mängder), vilket Gottlob Frege sökt göra. Det ligger sålunda en inneboende inkonsistens i det, även om Bertrand Russell, med sin typteori, sökte rädda Freges Logicism. Förstås dömt att misslyckas i enlighet med t3’, om det nu inte nöjes med en inkonsistent/kontradiktorisk aritmetisk logicistisk grundval.

 

^ Se till exempel: Irvine, Andrew David and Deutsch, Harry, "Russell's Paradox", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2016 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = <https://plato.stanford.edu/archives/win2016/entries/russell-paradox/>.

 

 

Om bevisbarhet och (analytisk) sanning

 

T0

 

Satser xÎX antas inte kunna bevisas/härledas(/framledas) utifrån tillämpliga satser x’ÎX:

 

x|x’ÏX; xÎX:

 

x|x’+x’+x*ÏX+x’+x*; x*=X-x-x’, Fp:

 

XÏX; Up’:

 

T0) x|x’ÎX; xÎX; Up:

 

Ø xÎX är antingen med x’ÎX bevisat tillhöriga X, eller antagna som axiom i X (inga andra xÎX);

 

Axiom=[inte bevisat x].

 

 

Lite relatering till den konventionella logiken

 

Bevis handlar i enlighet med det föregående i mångt och mycket om att utesluta kontradiktoriska x, alltså x vilka strider mot i X sanna x, bevisat sanna i X, eller axiomatiskt antaget sanna i X, givet T0.*

 

En kontradiktion utesluter endast det kontradiktoriska x, säger allmänt inget om vilket x=x’ vilket eventuellt gäller istället, eftersom rekonstaterat följande gäller:

 

I) x’=E-x.

 

Vilket allmänt definierar en jättelik mängd av x. Utan denna mängd (E1) måste följaktligen definitionsmässigt snävas in för att det ska finnas någon som helst möjlighet att mer direkt kunna hitta något specifikt x’ som ”alternativ” till x.

 

I Principia Mathematica, av Russell och Whitehead (1910-1913, reviderad 1927) finns ett axiom (*1.7) vilket lyder: ”If p is an elementary proposition, p’ is an elementary proposition”. Vilket givet Up kan tolkas som en kontradiktion: Om x så x’ (icke-x)? Eller: Om x är en sann proposition, vad finns det då för mening med att tala om propositionen x’, vilken givet Up måste vara falsk (givet att x är sann)? Tolkningar Barker-Plummer, Barwise och Etchemendy i Language Proof and Logic (andra utgåvan (2011)) undviker genom att definiera följande (s. 68): ”Given any sentence P of FOL (atomic or complex), there is another sentence  ¬P. This sentence is true if and only if P is false.” (¬P=P’).

 

Ett antagande vilket likafullt allmänt står i strid mot I. Det är ontologiskt oförklarligt, som generellt antagande:

 

Det definierar så att säga den generella existensen av x transcenderande spök/skugg-x=x’, vilka existerar oberoende av x. x’ följer inte ur några specifika x, utan existerar då blott axiomatiskt antaget så, givet x. Vilket vidare är K. Gödels ofullständighetsaxiom (1931) i ett nötskal (se till exempel referensen i **-fotnoten i förordet): Det existerar (sanna) x=x’ÎX vilka inte är en (logisk) följd av xÎX, utan vilka blott tillhör och är sanna i X (x’ är sanna per se, även om det brukar läggas till att x’ ska kunna uttryckas med X ”språk”). Vilket x’ principiellt givetvis gör, enär x’ är (axiomatiskt) antaget existerande. Dessa x’ vilka kallas oavgörbara x. Ett ytterligare sanningsvärde, vid sidan av sant och falskt, i konventionell logik.

 

E-teoretiskt däremot finns givetvis inga oavgörbara x, givet I, och i enlighet med T0. Även om analysen i vissa fall ”naturligt”/rationellt kan inskränka sig, inskränka sin domän, på så sätt att endast två alternativ, x och x’, föreligger (där x’ rationellt är sant om x är falskt, eller vice versa). Men det endast i undantagsfall, allmänt gäller I. 

 

En ”realistisk” dimension kan även anas i detta konventionella mystiska antagande, nämligen att det existerar ting (x’) bortom tankarna/definitionerna (x). Vilket återkommes till i nästnästa avsnitt.

 

__________

* Ibland kan x=x* vilja testas i X, utan att x* (direkt) härleds (utifrån i X sanna x). Då kan x* (hypotetiskt) antas vara sant i X, och sedan en härledning (med hjälp av i X sanna x) utifrån x* göras, vilken om den utfaller i en kontradiktion, i ett kontradiktoriskt x, utesluter x* som sant i X, givetvis eftersom inga kontradiktoriska x får förekomma i en konsistent teori (endast bestående av icke-kontradiktoriska=konsistenta x, allmänt lydande under Up(/Idp/Kp)).^ Om inte, så ligger det nära till hands att förmoda att x* är sant i X, det måste dock i enlighet med T0 bevisas, eller så får x* antas som axiom i X. Givet att x* per se är icke-kontradiktoriskt, vilket givetvis måste gälla för alla axiom. Vilket inte alltid är helt enkelt att se, särskilt förstås om axiomet är komplicerat i sin definition. Vilket naturligtvis, helt allmänt, talar för korta och okomplicerade axiom, lätta att kontrollera mot Up.^^

 

^ ”Allmänt”, inte strikt, eftersom Up strikt hävdad utesluter (definierar) all form av analys, definierande av X (som irrationell).

 

^^ För att exemplifiera, så finns ett axiom vilket hävdar att det x som kännes, eller ägs kunskap om, definierat Kx, också gäller, är sant, är x, vilket kort och gott kan uttryckas:

 

A) Kx x.

 

Förutsatt Up gäller två alternativ givet A:

 

I) Kxx.

 

II) Kx=x.

 

Om II gäller är Kx platt (identiskt) x, Kx är ett och detsamma som x, alltså ett fenomen vilket inte för utöver Kx. Kx är slutet i sig självt, något internt. Vilket blir mer intuitivt om identiteten vändes på: x=Kx. x är då explicit ett Kx, en kunskapsprocess, eller en medvetandeprocess. Det senare vilket ligger implicit i begreppet kunskap: Utan medvetande ingen kunskap, så för kunskap är det nödvändigt med medvetande.

 

Tolkningen av x=Kx, ställer frågan hur Kx=x mer specifikt ska tolkas? Om x också tolkas vara kunskap/medvetande, så gäller principiellt att Kx=Kx. Tolkas x inte vara medvetande, är den enda rationella tolkningen att x är något materiellt, till exempel processer i en hjärna. Processer vilka då definierar Kx. Processer slutna i sig själva.

 

Processer slutna i sig själva definierar endast sig själva, för inte utöver sig själva. För det senare måste det antas existera x bortom dessa kunskapsprocesser (materiella eller inte), alltså existera x bortom Kx, vilka Kx eventuellt äger tillgång till (så att säga på armlängds avstånd), på något sätt, vilket för över i fall II.

 

A tolkat i ljuset av II är en trivial tautologi (cirkel); ”kunskap” är endast kunskap om sig själv. 

 

Det mer intressanta II, förutsätter för det första att det existerar x bortom Kx. Om inte, så faller I på sin egen orimlighet (och II gäller, förutsatt existens av Kx, vilket evident existerar, till exempel egos). Utan förutsatt att det existerar x bortom Kx, en externalitet existerar relativt Kx. Kx vilket följaktligen kan definieras vara en internalitet. Så är den evidenta frågan om Kx äger tillgång till x, och korrekt kan avgöra x?

 

Givet att Kxx, alltså I, så är den möjligheten principiellt direkt utesluten, och A med det falsk. Och det alltså även om en externalitet bestående av x antas existera. Och det just bara av det enkla skälet att Kxx. Eller omvänt att xKx, med vilket Kx måste anta x äga överensstämmelse med Kx, om än aldrig fullständig överensstämmelse kan antas. För om fullständig överensstämmelse antas, så är x=Kx, och x är alltså en kunskapsprocess (ytterst kanske en hjärnprocess). En kunskapsprocess vilken principiellt inte behöver ha det minsta med ett externt ”x” (på ett ”avstånd” från Kx) att göra, eftersom ”x” alltså inte är identiskt med ett Kx.

 

A är alltså falskt förutsatt Up, eller en trivial tautologi (i fall II).

 

Än enklare att vederlägga är det omvända ”axiomet”:

 

A’) x Kx.

 

Om x föreligger/existerar, är sant, så är det möjligt att äga kunskap om x.

 

För givet att xKx, så är det helt enkelt omöjligt att veta om det finns något (möjligt) Kx vilket refererar till x. Och dessutom är det omöjligt att veta om det finns något x överhuvudtaget. Eftersom ett medvetande i enlighet med Up endast känner sin egen kunskapsprocess: Kx; Kx=Kx; Up, inte känner några x(Kx), alltså eftersom Kxx; xKx.